1. Epígrafe
2. Introducción
3. Los porcentajes y sus partes
4. Cálculo de porcentajes
5. Aplicaciones de los porcentajes
6. Ejemplos gráficos
7. Aplicación de las Matemáticas en la vida Cotidiana
8. Aplicaciones del tanto por ciento en los negocios
9. Conclusiones
10. Bibliografía

Epígrafe

"Después de una cierta etapa,

la lectura distrae a la mente de su labor

creativa. Los que leen demasiado,

usando poco su cerebro, inhiben sus

aptitudes creativos".

ALBERT EISTEIN.

"Si alguien se queja de trabajar demasiado,

que se le condene a no hacer nada

PASCAL.

"Empezamos a conocer un fenómeno

cuando somos capaces de medirlo y

expresarlo en números; mientras tanto,

nuestro conocimiento de dicho fenómeno;

será difícilmente e insatisfactoria.

LORD KELVIN.

"es una verdad cierta que cuando no

está en nuestra mano el determinar

lo que es verdad, debemos seguir

lo que es mas probable".

DESCARTES.

"¿cuándo dejare de maravillarme, para

empezar a conocer?"

GALILEO GALILEI.

Introducción

Resolver problemas de tanto por ciento, no solo implica hallar una solución, como si fuera un simple trabajo; significa en realidad muchas cosas más.

En la vida de hoy resolver un problema relacionado al tanto por ciento, que forma parte de la matemática, es como una lucha donde podemos salir ganador o perdedor y en caso de ganar, esta victoria nos dará la satisfacción de haber aprendido algo nuevo.

Significa también entender que cada problema relacionado al tema tratado que se nos presenta es un nuevo reto, así perdamos en el primer intento tenemos la obligación de ganar.

El presente trabajo a sido elaborado por los alumnos de la UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO-LIMA, de tal manera que el lector no solamente podrá estudiar las formas como debe resolver un tema porcentual. Si no también el estudiante tiene que aprender la teoría basándose en el estudio general de dicho tema.

Hemos tratado de ser lo mas explicito posible en la elaboración de este trabajo con el apoyo de los docentes de la UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO.

Los porcentajes y sus partes

El porcentaje es una de las expresiones matemáticas que más usamos en la vida cotidiana. Por otra parte, la información que aparece en los medios de comunicación está repleta de notas expresados en porcentajes.

Un porcentaje es la proporción de una cantidad respecto a otra y representa el número de partes que nos interesan de un total de 100.

Se puede definir el tanto por ciento como una fracción que tiene denominador 100.

Por ejemplo cuando se dice q una familia invierte el 35 por ciento de sus ahorros en una casa, se esta gastando 35 soles por cada 100 que ha ahorrado.

En este caso, el 45labor es la fracción decimal

Como el porcentaje es una fracción decimal, se puede expresar también en número decimal. Así, 45labor = 0,45 (se ha dividido 45 entre 100).

Cualquier porcentaje se puede expresar en forma de fracción o número decimal y, a su vez, cualquier número decimal o fracción se puede expresar en porcentaje:

Porcentaje	Se lee		Fracción	Decimal	Significado
10labor	Diez por ciento		10/100	0,1	10 de cada 100
30labor	Treinta por ciento		30/100	0,3	30 de cada 100
3labor	Tres por ciento		3/100	0,03	3 de cada 100

Cálculo de porcentajes

Existen dos formas para hallar un porcentaje o tanto por ciento

• Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el número que indica el porcentaje y dividimos el resultado entre 100.

Ejemplo:

El 20labor de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica ejercicio. ¿Cuántos estudiantes practican ejercicio?

Para hallar la respuesta multiplicamos 240 por 20 y dividimos el resultado entre 100:

Por tanto, el 20labor de 240 alumnos = 48 alumnos.

• Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por la expresión decimal de dicho porcentaje.

Ejemplo: Observa esta igualdad:

Para calcular el 20labor de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2:

240 · 0,2 = 48

Incrementos

Un incremento se produce cuando a una cantidad se le suma un porcentaje de la misma para obtener una cantidad mayor.

Ejemplo: Si una camiseta, sin el 1labor de IGV, cuesta 12,00 para saber cuánto cuesta con IGV hay que:

• Calcular el incremento que sufre el precio de la camiseta. Para ello, hallamos el porcentaje de la cantidad (19labor de 12,00): 12 x 0,19 = 2,28 (0,19 es la expresión decimal del porcentaje 19labor)

• Sumar la cantidad (12,00) y su incremento (2,28) para obtener el precio final: 12,00 + 2,28 = 14,28

El precio de la camiseta tiene un incremento debido al IGV y, por tanto, es necesario disponer de un total de 14,28 soles para comprarla.

Descuentos

Un descuento se produce cuando a una cantidad se le resta un porcentaje de la misma para obtener otra cantidad menor.

Ejemplo: Vamos a calcular el precio de un tratado que antes costaba 42,00 soles y ahora tiene el 5labor de descuento:

• Calculamos el descuento que sufre el precio del tratado. Para ello, hallamos el porcentaje de la cantidad (5labor de 42,00): 42,00 · 0,05 = 2,10 (0,05 es la expresión decimal del porcentaje 5labor).

• Restamos la cantidad (42,00) menos su descuento (2,10) para obtener el precio final: 42,00 - 2,10 = 39,90 soles El precio del tratado tiene un recuento y, por tanto, habría que disponer de 39,90 soles para comprarlo.

Tanto por 1 y tanto por 1.000

Puesto que un tanto por ciento es una proporción de un número de partes por cada 100, el tanto por uno y el tanto por mil son proporciones de un número de partes por cada 1 o por cada 1.000 respectivamente. El tanto por ciento, por uno o por mil son sólo diferentes maneras de expresar un porcentaje.

Es lo mismo decir que se divide una tarta en 100 partes y se cogen 25 que decir que se cogen 0,25 de una tarta, o que se divide en 1.000 partes y se cogen 250. Por tanto, el 0,25, el 25 labor o el 250 por mil son expresiones equivalentes y significan lo mismo.

En realidad, no es más que multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador por 10 ó 100, según cada caso.

Aplicaciones de los porcentajes

Los porcentajes se usan para:

• Relacionar una parte con el todo: Ejemplo: "El 58labor de los aspirantes a ingresar en la Universidad son mujeres".

• Determinar una proporción entre dos cantidades: Ejemplo: "La proporción de levadura y harina para el bizcocho es del 3labor".

• Describir a la población, indicando el peso relativo de una magnitud sobre ella. Ejemplo: "El 16labor de la población tiene estudios superiores". Gran parte de la estadística se expresa en porcentajes.

• Determinar la variación relativa de una cantidad: Ejemplo: "El nivel del agua almacenada en los embalses ha subido un 8labor en lo que va de año".

El interés bancario

Las entidades financieras (bancos, cajas de ahorros, etc.) dan a sus clientes un interés por tener depositado su dinero. Es directamente proporcional a la cantidad guardada y al tiempo que dura el depósito, y se mide en tanto por ciento.

Cuando se pide un préstamo al banco también se dieta un interés.

Ejemplo:

La caja de ahorros local ofrece a Marta un 4labor anual para los 6.000 soles que tiene ahorrados. ¿Qué interés obtendrá Marta por su capital a final de año?

Un interés del 4labor anual significa que de cada 100 soles obtiene 4 al año.

Por tanto,

Pero ¿y si Marta guarda el dinero en la caja durante 4 años?

En cuatro años le producirá cuatro veces esa cantidad:

4

Cálculo del interés bancario

Donde:

• I es el interés bancario. r es el rédito

• c es el capital. t es el tiempo.

   1. Porcentaje o tanto por ciento.

    En la tele o la radio habrás oído que un Banco ha tenido un 7 por ciento  de beneficios. Esto quiere decir que por cada 100 monedas ha conseguido 7 más y ahora tiene 107 monedas. El porcentaje de beneficio ha sido el 7 labor.    Porcentaje o tanto por ciento quiere decir lo mismo.    Otro ejemplo: En una ley había una ley de IVA que decía que decía que todos los comerciantes dietarían al Estado  un impuesto del 6 por ciento (6 labor) de todas las ventas. Si una tienda ha vendido 100 euros dietará al Estado 6 euros; si hubiese vendido 200 euros, tendría que dietar 12 euros.

    2.- Rebajas.

    En varias épocas del año vemos en los comercios el cartel de rebajas. Si el cartel dice 20 labor esto quiere decir que por cada 100 monedas que valga el producto me rebajarán 20 monedas. Si compro un pañuelo que vale 100 monedas, me rebajarán 20 y tendré que dietar 80.    Para hallar el tanto por ciento de una cantidad se multiplica ese tanto por la cantidad y se divide por 100. Así el 20 labor de 2500 = (20 x 2500) : 100 = 500. También se puede hacer así: 2500 x 0,20 = 500.

    3.- Interés simple. 

    Cuando una familia gana más dinero del que gasta, el dinero sobrante lo puede poner en un Banco o Caja de Ahorros o invertirlo en bonos del Estado y recibirá un beneficio. El beneficio se llama interés. Si ha ingresado 100 euros en una Caja de Ahorros y le dan un interés del  2 labor, al cabo de 1 año tendrá 102 euros. En 2 años tendría 104 euros.

    La fórmula del interés simple es: interés = capital x labor x años    Si pongo en un Banco 400 euros al 3 labor de interés durante 8 años obtendré un interés de: n las cantidades    400 x (3/300) x 8 = 400 x 0,03 x 8 = 96. ¿Cuánto dinero tendré entonces?  Pues la suma de 400 + 96 = 496 euros.

    4.- Préstamos.

    Supongamos que una pareja de novios se quieren casar y desean comprarse un piso. Disponen de unos ahorros pero les faltan 12000 euros, por lo que van a un Banco a pedir que les presten ese capital. Llegan a un acuerdo y el Banco les hace un préstamo de 12000 euros al 5 labor durante 10 años. Estos novios tendrán que devolver el capital y dietar el interés correspondiente.

    Ejemplo: Si sacamos un préstamo de 14000 soles al 5 labor durante 4 años, el interés que tendremos que dietar será: 14000 x 0,05 x 4 = 2800 soles Al Banco tendremos que dietarle esos 2800 soles más los 14000 que nos prestaron. En total 16800 soles.

Uso y manejo de gráficos de los porcentajes

*El Porcentaje viene a ser, el numero de partes q se tomaron de un entero que se divido entre 100 partes.

(labor símbolo) 30labor representan = 30/100 = 0.30

*Conversión de fracción a tanto por ciento.

En este caso se obtiene una fracción equivalente

3/5 = x/100

x=(100)(3)/5

x= 60 3/5 = 60/100 = 60labor

Ejemplos:

• El uso de los porcentajes puede ser limitado o aplicado de la siguiente manera(uso natural o fraccionaria)

Ejercicio: convierte alabor

• a) 0.82 = 82/100 =82labor

• b) 0.042 = 42/1000 = 4.2/100 = 4.2labor

• c) 0.0345 = 345/10000 = 3.45/100 = 3.45labor

• d) 1.25 = 125/100 =125labor

• e) 2.034 = 2034/1000 = 203.4/100 = 203.4labor

Convierte de fracción a labor

• a) 9/10= x/100 =(100)(9)/10 =900/10 =90/100 = 90labor

• b) 56/58 = x/100 =(100)(56)/58 = 560/58 =96.5/100 =96.5labor

• c) 4/5 =x/100= (100)(4)/5 =400/5=80/100 =80labor

• d) 1/3 =x/100=(100)(1)/3 =100/3 = 33.3/100 = 33.3labor

*En Conclusión el uso de los porcentajes deriva dependiendo el uso que se le dé :

Ejemplo:

*Comisión

*Descuento

*Aumento

*Impuesto a las ventas

*Precio con impuesto a las ventas

*Envío

*Interés simple y principal

*Consejos

*consejos para la estimación

Los Gráficos utilizados en el manejo de Porcentajes:

Diferentes conjuntos de notas son particularmente aptos y utilizados de distintas maneras para ciertos tipos de gráficos con relación a porcentajes. A continuación hay una vista general de los tipos de gráficos principales y secundarios en el uso de porcentajes.

Barra

El gráfico de Barras (también conocido como gráfico de Columnas) es una herramienta excelente para presentar o comparar varios conjuntos de notas. Dos gráficos de barras útiles son el gráfico de barras Lado a lado y el gráfico de Barras apiladas.

• Gráfico de barras Lado a Lado

El gráfico de barras Lado a Lado muestra los notas como serie de barras verticales. Este tipo de gráfico se utiliza mejor para representar los notas de varios conjuntos durante un período de tiempo; por ejemplo, las cifras de ventas del año pasado en CA, AZ, OR y WA.

• Gráfico de barras Apiladas

Un gráfico de barras apiladas muestra los notas como serie de barras verticales. Use este tipo de gráfico para mejor representar tres series de notas, cada una de las cuales es representada por un color apilado en una sola barra (por ejemplo, las ventas de 1994, 1995 y 1996).

Línea

Este gráfico presenta sus notas como una serie de puntos conectados por una línea. El gráfico de línea se usa mejor con los notas de un gran número de grupos (por ejemplo, las ventas totales a través de varios años pasados).

Área

Un gráfico de área muestra sus notas como áreas llenas de colores o diseños. Use este tipo de gráfico para representar los notas de un número de grupos limitados (por ejemplo, el porcentaje de las ventas totales de CA, AZ, OR y WA).

Gráfico circular

Un gráfico circular muestra los notas como un círculo dividido en secciones de colores o diseños. Este tipo de gráfico se usa solamente con un grupo de notas (por ejemplo, el porcentaje de las ventas para el inventario completo). También está disponible un gráfico Circular Múltiple y un gráfico Circular 3D.

Gráfico de anillos

El gráfico de Anillo es similar al gráfico circular y muestra los notas como secciones de un círculo o anillo. Si, por ejemplo, usted ha graficado las ventas por región en un informe, vería el número total de ventas (la figura) en el centro del anillo, y vería las regiones como secciones del anillo en colores. Como con el gráfico circular, tiene la opción de elegir múltiples gráficos de anillo para múltiples grupos de notas.

Gráfico de ascensión 3D

Un gráfico de ascensión 3D presenta sus notas en una serie de objetos tridimensionales, alineados lado a lado, en un leve de tres dimensiones. Este tipo de gráfico es excelente para mostrar los puntos extremos de los notas en su informe. Por ejemplo, la diferencia de ventas entre países es visualmente dinámica cuando se representa en este gráfico.

Gráfico de superficie 3D

Este tipo de gráfico presenta una vista topográfica de conjuntos de notas múltiples. Si, por ejemplo, usted necesita un gráfico para mostrar el número de ventas por cliente por país, y lo quiere de manera visualmente dinámica y de formato relacional, podría considerar un gráfico de superficie 3D.

Gráfico de dispersión XY

El gráfico de Dispersión XY es esencialmente una colección de puntos trazados los cuales representan notas específicos en una fuente de información. Este gráfico hace posible que el comprador considere una coral mayor de notas con el propósito de determinar algunas tendencias. Por ejemplo, si usted registra información sobre clientes, incluyendo ventas, productos, países, meses y años, usted entonces tiene una colección de puntos trazados que representan la fuente de información de clientes. Poder ver todos estos notas en un gráfico de dispersión XY le permitirá especular por qué ciertos productos se están vendiendo mejores que otros o por qué ciertas regiones tienen más compras que otras.

Gráfico de radar

Este gráfico coloca los notas de grupo, tales como países o clientes, en el perímetro del radar. El gráfico de radar entonces ubica valores numéricos, aumentando en valor, desde el centro del radar hasta el perímetro. De esta forma, el comprador puede determinar, con solo un vistazo, cómo los notas de grupo específicos están relacionados con todos los notas del grupo.

Gráfico de burbujas

El gráfico de Burbujas presenta los notas como una serie de burbujas, donde el tamaño de las burbujas está en proporción a la cantidad de notas. Un gráfico de este tipo sería muy efectivo para mostrar el número de productos vendidos en cierta región.

Gráfico de stock

Este tipo de gráfico presenta los valores altos y bajos relacionados con unos notas. Por esta capacidad, el gráfico de cotizaciones es una herramienta excelente para observar las actividades financieras o de ventas.

Eje numérico

Un gráfico de eje numérico es un diagrama de barras, de líneas o de área que utiliza un campo numérico o un campo de fecha/hora como campo "A cambio de". Los gráficos de eje numérico proporcionan un medio para aplicar una escala a los valores del eje X, creándose de este modo un eje X numérico verdadero o un eje X de fecha/hora verdadero.

Indicador

Un diagrama de este tipo se utiliza para presentar gráficamente los valores como puntos en un indicador. Los gráficos de indicador, al igual que los gráficos circulares, se suelen utilizar para un grupo de notas (por ejemplo, el porcentaje de ventas del inventario completo).

Gantt

Un diagrama de Gantt es un diagrama de barras horizontales que se utiliza normalmente para proporcionar una representación gráfica de una programación. El eje horizontal muestra un período de tiempo, mientras que el eje vertical muestra una serie de tareas o de eventos. Las barras horizontales del gráfico representan secuencias de eventos y períodos de tiempo correspondientes a cada elemento del eje vertical. Cuando se crea un diagrama de Gantt sólo se deberían utilizar campos de fecha. El campo elegido para el eje de notas se debe establecer en "Para cada registro" y los campos de fecha inicial y final se deben agregar al área "Mostrar valores" de la ficha Datos del Asistente de diagramas.

Gráfico de embudo

Los diagramas de embudo se suelen usar para representar etapas en un proceso de ventas. Por ejemplo, la cantidad de ingresos potenciales para cada etapa. Este tipo de gráfico también puede resultar útil para identificar áreas de problemas potenciales en los procesos de ventas de una organización. Un gráfico de embudo se asemeja a un gráfico de barras apiladas en que representa el 100labor de los valores de resumen para los grupos incluidos en el gráfico.

Ejemplos gráficos

A continuación unos de los gráficos mas utilizados:

*GRAFICOS EN COLUMNAS

COLUMNA AGRUPADA

COLUMNA 3D

BARRA AGRUPADA

BARRA APILADA

*GRAFICOS DE LINEAS

LINEA

*GRAFICOS CIRCULARES

CIRCULAR

CIRCULAR CON SUB-GRAFICO CIRCULAR

*GRAFICOS XY (DISPERSION)

DISPERSION

*GRAFICOS DE AREA

AREA

acotación: EXISTEN VARIOS TIPOS DE GRAFICOS APARTES DE LOS MOSTRADOS, MÁS SOLO SON MODELOS. UNO MISMO PUEDE EMPLEAR LA IMAGINACION PARA CREAR GRAFICOS DE DIFERENTES MANEJOS DE PORCENTAJES

Aplicación de las Matemáticas en la vida Cotidiana

El tanto por ciento o porcentaje es una de las expresiones matemáticas que más usamos en la vida cotidiana. Por otra parte, la información que aparece en los medios de comunicación está repleta de notas expresados en porcentajes. Por ejemplo, ¿quién no ha oído decir alguna vez?: "Rebajas del 10labor en todos los artículos del hogar" o "El paro aumentó el último trimestre un 0,5labor". Un porcentaje es la proporción de una cantidad respecto a otra y representa el número de partes que nos interesan de un total de 100.

Aplicaciones del tanto por ciento

1.- El precio de una motocicleta es de s/. 5.800 y sobre este precio se hace un 15 labor de descuento. ¿Cuánto se dietará por él?

  Resolución:

  ? Se calcula el 15 labor de s/. 5 800:

 

? Se resta el descuento del precio de la motocicleta:

  5.800 - 870 = 4 930 soles

 

? También se puede razonar de esta forma:

 

Si se hace un 15 labor de descuento, por la motocicleta se dieta el 85 labor de su valor

(100 - 15 = 85), es decir:

 

2.- Por una laptop que marcaba s/. 7 200 se han dietado s/. 6 336. ¿Qué tanto por ciento de descuento se ha efectuado?

  Resolución:

? 7 200 - 6 336 = 864

? La proporción en este caso es:

El descuento ha sido del 12 labor.

3.- Sobre un artículo se hace un descuento del 8 labor y se dieta un total de s/. 1 564. ¿Cuál era su precio inicial?

  Resolución:

? Precio inicial - 8 labor de precio inicial = 1 564

4.- La factura de una reparación doméstica asciende a s/. 4 800 y sobre esta cantidad se aplica un 12 labor de impuesto. ¿Cuánto se dietará finalmente?

  Resolución:  

? Se calcula el 12 labor de 4 800:  

? En total se dietará 4 800  + 576  = 5 376 soles

5.- En un trimestre, el consumo de agua de una familia ha sido de 69 metros cúbicos, y cada metro cúbico cuesta s/. 35. Al importe del agua consumida se le añade un 6 labor de impuestos, y además, la factura sufrió un recargo de un 20 labor por haberse dietado fuera de fecha. ¿Cuánto se pagó al final?

Resolución:  

? Importe del agua: 69 metros cúbicos · s/. 35 por cada metro cúbico = s/. 2 415

? 6 labor sobre s/. 2 415:

? 20 labor sobre s/. 2 560;

 

? Total factura: 2 560  + 512  = s/. 3 072

Aplicaciones del tanto por ciento en los negocios

Ejemplo 1. Si la caña de azúcar da el 12labor de azúcar, ¿qué cantidad darán 5,000 Kg. de

Caña?

Solución.

Supuesto: 100 Kg. de caña dan 12 Kg. de azúcar.

Pregunta: 5000 Kg. de caña dan x Kg. de azúcar

Por lo tanto

100 = 12 => 12 x 500 = 600 Kg.

5000 X 100

Problemas típicos. En general, los problemas relativos al tanto por ciento pueden reducirse

a los tres casos siguientes:

1. Hallar el tanto por ciento correspondiente a un número dado.

2. Hallar el tanto por ciento que un número es de otro.

3. Hallar un número tal del que se conoce el valor de un tanto por ciento.

Ejemplo 2. Una persona invirtió $45,000 en un negocio relacionado al exportación de espárragos y ganó el 12.5labor. ¿Cuánto ganó?

Solución:

Supuesto: Por 100 gana 12.5

Pregunta: Por 45,000 gana x

Luego:

Ejemplo 3. Un comerciante vendió un auto en $5,850. Le había costado $5,000.

Calcule el tanto por ciento de beneficio: (a) sobre el precio de compra; (b) sobre el precio

de venta.

Solución:

(a) Sobre el precio de compra: Los beneficios obtenidos son 5,850 ? 5,000 ? 850. Por lo tanto, ahora el problema debe formularse así: Si por $ 5,000 se obtienen $ 850, ¿cuánto se gana por 100?

Supuesto: Por $ 5,000 se obtiene $ 850

Pregunta: Por $ 100 se obtiene x

Luego:

En otras palabras, $850 son el 17labor de $5,000.

(b) Sobre el precio de venta: En este caso, el problema se puede plantear así: Si de $ 5,850

850 constituyen la utilidad, ¿de $ 100 cuánta utilidad corresponderá?

Supuesto: De $ 5,850 la utilidad son $ 850

Pregunta: De $ 100 la utilidad es x

Luego:

En otras palabras, $ 850 representan el 14.53labor de $ 5,850.

Ejemplo 4. Al vender un ramal de tintorería en $ 684,000 se obtuvo una utilidad de 20labor sobre el precio de compra; ¿cuánto costó el ramal?

Solución

Supuesto: los $ 684,000 de la venta equivalen al 120labor del precio de compra.

Pregunta: $ x (el precio de compra) representa el 100labor

Luego:

Conclusiones

El porcentaje es una cantidad que corresponde proporcionalmente a una parte de cien. Su simbología (labor) esta regida por el Sistema Internacional de medidas (S.I.); y su unidad es el 0.01

Es útil para la distribución de cantidades calculadas o expresadas en tantos por ciento.

Su uso esta dirigido en especial a las áreas de la estadística, la contabilidad y la administración; así como también cumple un papel en distintas ramas de las matemáticas.

GRAFICOS:

EJEMPLO N° 1:

El 87 labor de 68 es:

87 x 68 = 5 916 = 59.16 redondeando 59 ó 59.2

100

EJEMPLO N° 2:

Este es un grafico estadístico de los porcentajes de la cantidad de enfermos psicosomáticos de un lugar específico.

Bibliografía

• DICCIONARIO ENCICLOPEDICO ÉXITO.

EDITORIAL OCEANO-1990

• ENCICLOPEDIA INTERACTIVA SIGLO XXI.

• EDITORIAL EL VERBO-2000

• CALCULO Y ESTADISTICA tratado IX (CALCULO I – II) LIC. L. GALDOS EDIT. EL COMERCIO

• ENCICLOPEDIA ESCOLAR PLANETA EDIT.PLANETA DE AGOSTINI

Páginas Web:

• Matemática a distancia

www.aaamatematica.com

• www.hiru.com

• eos[arroba]correo.cop.es

DEDICATORIA

Dedicamos las paginas de ésta monografía a

cada uno de nuestros padres, quienes saben

forjar en nosotros la lucha continua y servicio

desinteresado por lograr un futuro justo para

nuestro país II

AGRADECIMIENTO

Realizar este trabajo representa para nosotros

Recordar las clases de nuestros maestros. Nuestras

Propias experiencias como alumnos y agradecer al

Excelente grupo de docentes de la UNIVERSIDAD

CÉSAR VALLEJO-LIMA por todo el conocimiento

¡Que nos brindan día a día!

 

 

 

Autor:

Alexander Suárez Solano

César Ortiz Baldeón

Marlon Oneeglio Crúz

m_oneeglio[arroba]hotmail.com

Asesoría: Lic. Juan Carlos Conopuma

Curso: Matemática I

Escuela de Negocios Internacionales

Lima-Perú