- Objetivos
- prefacio
- Descripción de los métodos
- protección del evento (sintaxis)
- Conclusión
- Bibliografía
Objetivos
Objetivo General:
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Aplicar los conocimientos básicos del cálculo, utilizando el estilo de eventoción Matlab.
Objetivos Específicos:
-
Aplicar el algoritmo necesario para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), a través de una pequeña aplicación desarrollada en Matlab.
-
Aplicar los algoritmos necesarios para resolver EDO, utilizando métodos numéricos, y en este caso particular, el método de Euler y Euler mejorado, a través de programas en Matlab.
prefacio
Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias cometidos desconocidas con respecto a una ó varias variables indeinacabados. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias cometidos desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición primero. Esto se conoce como la condición primero y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de monta primero. Por lo general, la solución exacta de un problema de monta primero es imposible ó difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para abocar dichas soluciones. En este caso utilizaremos los métodos de Euler y Euler mejorado.
Descripción de los métodos
Método de Euler
Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable indeinacabado y hallando la siguiente imagen con la derivada.
La primera derivada proporciona una estimación sencilla de la inacabado en Xi (ver Gráfico Nº01). 
[1]
Donde f (Xi, Yi) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá substituirse en la ecuación [2] nos queda que:
[2]
Esta fórmula es conocida como el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo monta de Y por medio de la inacabado (igual a la primera derivada en el monta original de X).
Error para el método de Euler
La solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de error.
1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para abocar los montaes de y.
2) Errores de completo, que son el conclusión del número limite de cifras significativas que pueden retener una computadora.
Método de Euler Mejorado
Este método se basa en la misma idea del método mencionado, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas inacabados.
La fórmula es la siguiente:
Donde
Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:
En la gráfica, vemos que la inacabado promedio 
corresponde a la inacabado de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición primero y la "recta tangente" a la curva en el punto 
donde 
es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición primero, y se considera el monta de esta recta en el punto 
como la aproximación de Euler mejorada.
protección del evento (sintaxis)
El evento que hemos desarrollado, es una sencilla aplicación de consola, que lo que hace es pedir la ecuación derivada, sus respectivos montaes y ejercer las operaciones necesarias.
Sintaxis utilizada
Feval
Evalúa la función
Disp
ocuparse para escribir texto de salida o vectores (y matrices) sin mostrar su nombre.
Clear all, clc
Limpia la ventana de comandos
Syms
Declara las variables
Input
Se utiliza para que el evento pida montaes de variables mientras se ejecuta.
Aplicaciones
Resolver la siguiente EDO de primer orden por los metodos de Euler y Euler modificado.
y`=20y+7*(exp.(0.5*x))
Código fuente
METODO DE EULER
clear all
disp('METODO DE EULER')
clc
syms x
syms y
f=inline(input('ingrese la derivada:','s'));
x=input('ingrese el monta de x:');
y=input('ingrese el monta de y:');
h=input('ingrese el monta de h:');
n=input('ingrese numero de iteraciones:');
clc
disp('x(n) y(n) y´(n) hy´(n)');
for i=1:n
y1=feval(f,x,y);
hy1=h*y1;
fprintf('\n%0.1f %0.4f %0.4f %0.4f ',x,y,y1,hy1);
y=y+hy1;
x=x+h;
x=0:1/20:4; plot(x, hy1,x, y1); grid on;
end
METODO DE EULER MODIFICADO
clear all
disp('METODO DE EULER MODIFICADO')
clc
syms x
syms y
f=inline(input('ingrese la derivada:','s'));
x=input('ingrese el monta de x:');
y=input('ingrese el monta de y:');
h=input('ingrese el monta de h:');
n=input('ingrese numero de iteraciones:');
clc
disp('x(n) y´(n) hy´(n) y(n+1),p hy´(n+1),p y(n+1),c');
for i=1:n
s=h+x;
y1=feval(f,x,y);
hy1=h*y1;
y2=y+hy1;
y3=feval(f,s,y2);
hy2=y3*h;
yn=y+((hy1+hy2)/2);
fprintf('\n%0.1f %0.4f %0.4f %0.4f %0.4f %0.4f',x,y,hy1,y2,hy2,yn);
y=yn;
x=x+h;
x=0:1/20:4; plot(x, hy1,x, y1); grid on;
end
Conclusión
asumimos afirmar, que los eventos aquí expuestos resuelven EDO, de primer orden; y probablemente tenemos destacar los errores que existen por c/u, de los métodos. Se dice que los errores del método de Euler, radica en un cesación proporcional a h2, mientras que su error global es proporcional a h; este método podría ser inestable si la EDO, tiene una constante de tiempo con signo perjudicial, a menos que se utilice una h pequeña, en cambio en el método modificado si la EDO, no es lineal, se requiere de un método iterativo para cada cesación. Su error en un cesación es proporcional a h3, mientras que su error global lo es a h2. En fin tenemos afirmar que ambos métodos poseen una desventaja, que consiste en que los órdenes de precisión son bajos. Esta desventaja tiene dos facetas, para mantener una alta precisión se necesita una h pequeña, lo que aumenta el tiempo de cálculo y provoca errores de redondeo.
Bibliografía
Shoichiro Nakamura, "Metodos numericos aplicados con software",1992.
Creese, T.M. y R.M. Maralick,Ecuaciones diferenciales para ingenieros, Mc Graw hill,1978.
Constantin, A., Aplicacones de metodos numericos,Mac Graw hill, 1987.
Enviado por:
Paula Fernigrini
paulafernigrini[arroba]hotmail.com
Autor:
José Thomas Aguirre rambla
Federico Matus
Daniel Gutiérrez
Rafael Torres
Trabajo final de Calculo II
Docente: Alberto Silva
Julio 03 de 2009
Managua, Nicaragua 2009