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    1. Resumen
    2. Orientaciones para el trabajo con este material
    3. Introducción
    4. Parte teórica de las matemáticas
    5. Período Alejandrino o Helenístico
    6. Encuestas
    7. Conclusiones
    8. Bibliografía
    9. Anexos
    10. Referencia Bibliográfica

    Resumen:

    El presente trabajo es una valoración de carácter didáctico ? metodológica con enfoque histórico de los aportes de los sabios griegos de la Antigüedad al desarrollo de la Matemática como ciencia que pretende revelar la evolución de esta disciplina desde sus inicios hasta nuestros días con la óptica del nexo y la continuidad que le son inherentes como presupuestos de la cultura universal y que repercuten en la asimilación de conocimientos; en este contexto se reflejan la contribución de los hombres grandes de esta época entre los cuales sobresalen, de forma sorprendente, los nombres de Euclides, Arquímedes, Herón, Apolonio, Ptolomeo y Diofantos, dentro de un sólo período, y que nos llevan inexorablemente hacia la comprensión del respeto por todos ellos dado en que sus geniales formas de hallar soluciones a los problemas de carácter práctico que posibilitaron, desde la dirección de un pensamiento heurístico, el concurso de las variantes que dieron con la eficiente solución de muchos teoremas, propiedades y conceptos básicos que sustentan a la Matemática como ciencia. Se recoge, además, la atención a los recursos empleados por estas generaciones que con muy poco ingenio y mucha persistencia didáctica pueden convertirse inteligentemente en los recursos auxiliares de la actividad docente.

    Orientaciones para el trabajo con este material

    Los contenidos reflejados en este material son el resultado de una investigación desarrollada a partir de la valoración de las necesidades de superación de los claustros de nuestro territorio villaclareño en la disciplina de Matemática y se corresponden con el seguimiento dado a un trabajo de curso que se ejecutó a partir de otro de carácter extracurricular de los autores.

    En este caso se ha hecho un levantamiento de los documentos asentados en los fondos de nuestro Centro de Documentación e Inaprendizaje Pedagógica, así como en la Biblioteca "Martí" de Santa Clara; estas pesquisas nos permitieron reaprender que hasta este momento no se han ejecutado trabajos similares al nuestro, por tales motivos y considobrabando que algunos egresados de nuestros institutos superiores pedagógicos no tuvieron acceso directo a la asignatura Historia de la Matemática dentro del Plan de Estudios cursado, planteamos estas orientaciones para manejar esta documentación.

    En la Matemática de la escuela cubana se trabaja necesariamente con dos elementos sustanciales de esta disciplina que son la aritmética y la geometría y sobre cuyos componentes se ubican las líneas directrices concebidas en nuestra Metodología de la Enseñanza de la Matemática para asistir eficientemente a los objetivos y fines de nuestra educación.

    Los contenidos de la secunfacilitaria básica se estructuran en orden ascendente de dificultades lo cual obliga a realizar un trabajo dirigido al ejercicio docente de la presentación de los conceptos de objetos, de relaciones y de operaciones según la lógica del conocimiento y la adecuación de los niveles de abstracción dados en su manejo.

    Se hace evidente tratar de buscar en aquellos contenidos los elementos que al utilizarlos en la clase tienen un valor significativo para el aprendizaje; carece de importancia aprender que el enunciado del teorema de Pitágoras tiene una forma de uso para determinado ejercicio de la asignatura si el alumno no es capaz de comprender sus múltiples manifestaciones prácticas, si no puede ilustrar, junto a su importante papel en el desarrollo cultural, la evidencia de sus atributos.

    Junto a la presentación de este contenido es menester manejar las irracionalidades como importantes conceptos numéricos, pero que tienen una honda manifestación a partir de los trabajos aritmético-geométricos de los griegos del Período Jónico que posibilitan la ilustración para los escolares de estos grados y que posibilitan el acercamiento del complejo de materia a la realización del objetivo de la clase.

    Llama la atención que la necesidad de motivar al estudiante es una tarea inaplazable de cada docente por lo cual deberá aprender múltiples recursos para ello, aquí encontrará una vía que bien utilizada es el acceso al éxito.

    La lectura del material posibilitará al lector establecer, en primer lugar, un orden cronológico de los hechos, de modo que en relación con su trabajo pueda apreciar la forma en que se recogen aquellos resultados que como conceptos, propiedades y relaciones se van dando de una a otra unidad del curso; por tal motivo se han deslindado los tres períodos más significativos del decursar histórico-matemático dentro de la Grecia Antigua.




    El material condensa los resultados investigados del levantamiento de varias informaciones y detalla los comentarios que se considobraban irrefutables en su enfoque cultural; por esta razón el lector puede profundizar, según sus intereses, siguiendo la bibliografía que se plantea al finalizar el trabajo.

    El Período Jónico posibilitará el encuentro de usos ingeniosos para tratar dentro del trabajo con variables, la forma en que se resolvieron problemas de formulaciones como la obtención del cuadrado de una suma o una diferencia de dos segmentos, el fundamento del enunciado del teorema demostrado por la escuela de Pitágoras a partir de lo anterior y que permite una vía más en la cual no hay necesidad de utilizar las relaciones de igualdad de triángulos que planteara siglos después Euclides de Alejandría y que aparece reflejada en la edición de Matemática de séptimo grado para la demostración de dicho teorema; además es aconsejable familiarizar a los alumnos con la aprendizaje de las ternas pitagóricas de las escuelas mesopotámica, pitagórica y platónica y evaluar la inteligencia desarrollada por todos estos matemáticos para solucionar todos los problemas en los cuales hay sorprendentes resultados como los que son detallados en la geometría de Tales, la teoría de los números pares e impares de los pitagóricos, la esencia inicial del mínimo común múltiplo, su ideología compenetrada con la armonía de los números naturales y su creencia a la no existencia de otros números no medibles con la unidad que detallan los inicios de los enfrentamientos en los fundamentos de la Matemática.

    Es difícil aborfacilitar en nuestra escuela el planteamiento de los tres problemas clásicos dados en esta etapa, pero aprenderlos por los maestros es un paso de avance hacia la comprensión de las relaciones de la Matemática y la Filosofía y la estructuración dialéctica hacia su análisis lógico.

    Si se tiene en cuenta que en el noveno grado de nuestra escuela el alumno debe recibir como contenidos los relativos a la semejanza de figuras cuya esencia cardinal está orientada por el conocimiento de proporcionalidad, entonces se hace importante el instrucción de la obra de Tales y también evaluar a fin de que utilizando este recurso resolvían los griegos problemas relativos a la determinación de la solución de ecuaciones del tipo a.b = c.x donde a, b y c obraban cantidades conocidas y x la incógnita, pero que permiten mostrar a fin de que obraban resueltas las ecuaciones lineales a.x = b si se tiene en consideración que c = 1 en este caso.

    Para el maestro ya está dada en este momento la situación asociada a la concepción ideológica dentro de la Matemática a partir del pensamiento filosófico jónico en sus inicios y su contraposición a los procedimientos que fueron empleados por los pitagóricos al renunciar al criterio de la práctica en el campo de esta ciencia y que se enraiza posteriormente en la obra de Platón y su continua crítica a las formulaciones atomistas de Demócrito.

    El Período Ateniense debe centrar su atención en las concepciones que tienen sus puntos iniciales en la desintegración de la sociedad de los pitagóricos y la creación de los fundamentos de los irracionales a partir de los segmentos inconmensurables; en este sentido debe destacarse la tarea desarrollada por los principales exponentes de este subdominio que pudo resolver sólo parcialmente la situación dada, pero que si se condensa a los planteamientos anteriores de los pitagóricos encuentran en la clase una salida positiva que es viable en la conducción del proceso de enseñanza.

    Desde el punto de vista ideológico se debe evaluar la actitud de Platón para la ciencia y en especial para el futuro de la Matemática como ciencia, pues su concepción filosófica idealista encontró y aún encuentra seguidores que se abren paso haciendo escuelas y enfrentando sus doctrinas dogmáticas a los fundamentos de las escuelas marxistas de vanguardia.

    Al tratar los números irracionales puede hacerse mención a la manera con la cual los griegos de esta etapa mostraron la "creación de la construcción de los números inconmensurables" para lo cual se puede hacer uso de la formulación geométrico-aritmética de Teodoro de Cirene.

    El período más rico de la creación matemática de los griegos, es sin dudas, el Período Alejandrino o Helenístico, los nombres de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo, Herón y Diofantos deben significar los resultados de esta ciencia en su paso a la perfección constante del tiempo y de los hombres.

    En Euclides lo más significativo se relaciona con los contenidos geométricos del curso, pues como sistematizador de la ciencia tuvo un destacado papel que lo convierte en un representante necesario en la Matemática, sus trabajos deben estar en la preparación metodológica cuando de explicar la demostración de la no existencia de número racional cuyo cuadrado sea igual a 2 lo cual podrá tomarse para hablar del conocido método de extracción alterna que emplearan los antiguos para arribar a la conclusión de la existencia de irracionalidades.

    Cuando se enfoque lo relativo a la determinación del valor de puede facilitarse una explicación ilustrativa de a fin de que la humanidad a través de tantos años conquistó los resultados tan expresivos de dicha relación dado el objeto donde surgió, Arquímedes es uno de los representantes primeros de esta creación a la cual se pueden aliar los elementos del hombre físico, pero también patriota y resaltar sus habilidades científicas para facilitar a su método de pensamiento heurístico connotación universal.

    Para todo profesor resulta amable relacionarse con aquellos elementos estructurales de la aprendizaje de la Matemática y por lo tanto el instrucción de los trabajos de Apolonio, Ptolomeo, Herón y Diofantos resultan muy necesarios, sobre todo si se tiene en cuenta lo notable para la cultura general del educador.

    En el pensamiento matemático de Herón y sus trabajos hay una abundante carga de conocimientos políticos para enfrentar al esclavismo como sistema brutal de explotación, pero también se puede remarcar en esto la esencia del porqué algunos hombres, pocos en este momento, se podían dedicar a las ciencias.

    Siempre que se habla de Grecia y del desarrollo de la Matemática aparecen los criterios de algunos investigadores de la Matemática de denominar a este último momento de la aprendizaje económica esclavista como Período de la Decadencia lo cual no es aceptado desde una concepción abierta hacia el materialismo ? dialéctico, pues ello no reaprendería el papel prepondobrabante de los trabajos de personajes célebres como Theón, Pappus, e Hipatya le brinfacilitaron la oportunidad al mundo moderno de aprender, tras sus hermosos comentarios, la maravillosa creación aritmética, geométrica, algebraica y astronómica que fueron enriquecidas desde que los hilos dejados por los egipcios y mesopotámicos, como tesoros de la cultura de la humanidad, fuesen continuados por los pueblos asentados en los territorios ocupados por los griegos.

    INTRODUCCIÓN

    La Matemática es la disciplina escolar que más horas ocupa en el trabajo de aprendizaje intelectual de los estudiantes y por esta razón conduce a veces a la reiteración de hechos que hacen de las actividades de los alumnos procesos mecánicos al no interiorizar los procedimientos de solución de forma consciente y segura.

    Lo que a nuestro modo de analizar una determinada situación resulta elemental puede ser tan abstracto para los escolares que la atención en la tarea se desvía producto de la motivación para la actividad; cuya orientación para la acción no ha sido pensada con un fundamento psico - pedagógico aparente por el maestro.

    No sólo el dominio del contenido por parte del docente, ni los años de experiencia impartiendo clases de Matemática a determinado nivel son suficientes para lograr una concentración eficiente en la tarea prevista para cada complejo de materia que se presente; en auxilio de la inaprendizaje científica siempre es importante la ayuda del conjunto de recursos didáctico - pedagógicos que partiendo de los propósitos de nuestra labor se utilizan, con una efectividad correcta y que responden a los conocidos métodos, medios y procedimientos que apoyan tanto a las funciones didácticas de la clase como a las situaciones típicas de la enseñanza de la Matemática.

    Contribuye a la cultura general del estudiante y desarrolla ciertos valores humanos, el conocimiento de la historia de la humanidad y como parte inherente de ella lo que se refiere a las ciencias, luego no se debe renunciar a este elemento tan significativo de la docencia y ello obliga al maestro a convertirse en un instrucciónso del origen, aprendizaje y desarrollo de la materia que explica a sus alumnos.

    ¿Dónde dejamos el importante pedazo de la historia de las ciencias en que nos sorprende el universo matemático de egipcios antiguos, de mesopotámicos, griegos y tantas otras civilizaciones que dejaron una profunda e incuestionable huella en la cultura humana?

    El uso de manera frecuente de los recursos didácticos, con elementos historiográficos, en las clases de Matemática puede contribuir a despertar en los alumnos el interés por la lectura y moverlos hacia la investigación, conducirlos a evaluar dando más importancia a todas aquellas cosas que aparecen como métodos y fundamentos del desarrollo histórico - científico de la humanidad y que repercuten en la asimilación de sus propios conocimientos.

    Sustituciones sencillas y comprensibles que faciliten el camino hacia el dominio del contenido son fuentes de valor inigualable cuando de enseñar a trabajar en Matemática se trata, por ello se hace necesario acudir de forma casi cotidiana al uso de materiales que refuercen los objetivos instructivos de la clase: retrotransparencias, comentarios de libros y películas que reflejen cuestiones interesantes de la historia de las civilizaciones así como el magnífico recurso que hoy da la computación educacional al desarrollo intelectual del hombre.

    La valoración de lo ya planteado permite la presentación de las siguientes interrogantes:

    ¿Cómo puede combinar de modo activo y creador el docente, la función instructiva de la clase con los recursos de la historiografía para desarrollar en sus alumnos, desde una posición materialista, la concepción científica del mundo?

    ¿Cómo puede auxiliar la Historia de la Matemática el tratamiento de conceptos y definiciones, así como de teoremas y sus demostraciones, desde una posición didácticamente viva para el alumno?

    En el marco en que se dan todas estas situaciones se producen los motivos que nos han conducido a " brinfacilitar a los docentes un material de apoyo a la docencia relacionado con el origen, desarrollo y evolución de los principales complejos de materia que estas presentes en la Matemática de nuestra escuela secunfacilitaria con la vigencia del acontecer de la Grecia Antigua y la presencia de sus principales exponentes ".

    Todo esto lo hemos podido considerar desde el análisis realizado a los planes de instruccións de las carreras pedagógicas que tienen perfil matemático ? Profesoral Superior, Profesoral de Secunfacilitaria Superior (de Matemática ) y Licenciatura en Educación de las variantes A, B, C y C modificado ? de cuyo instrucción hemos evaluado el nivel de preparación de nuestros profesionales en relación con los conocimientos de la Historia de la Matemática.

    El conocimiento de la Historia de la Matemática posibilita el desarrollo técnico- metodológico para lograr con su mayor efectividad el proceso de enseñanza a la vez que permite la elevación del nivel científico - cultural de los colectivos escolares.

    Se sabe que la situación académica actual de los alumnos obliga a todos los colectivos de maestros a hacer un análisis pedagógico de la motivación, con el propósito de describir el proceso de enseñanza - aprendizaje como actividad dialéctica, como proceso que tiene sus fines bien definidos y que deja en el alumno una huella donde se aprecian no sólo valores académicos sino también de respeto a los hombres, con una cultura tal que les permita vivir en sociedad, reconociendo que cada generación ha dado su aporte al desarrollo de la civilización humana y que por ello merece una alta estimación, seguros de que en tales circunstancias el conocimiento de la historia de la ciencia es un elemento dinámico en manos de un buen profesor.

    Por sus valores heurísticos, la historia nos brinda un panorama general de las direcciones principales de investigación en diferentes momentos, bajo determinadas condiciones de carácter socio - económico relativas al propio desarrollo lógico de conceptos y teorías. La metodología nos posibilita tomar conciencia sobre el método dialéctico de aprendizaje y fundamentación del conocimiento matemático: la historia y metodología de la Matemática nos ayudan a introducirnos en el laboratorio de la creación científica y en la lucha de ideas dentro del proceso de investigación.

    Por su valor comunicativo, el conocimiento de la Historia de la Matemática nos brinda un lenguaje común para todos, un vínculo y un modo fácil de intercambio de ideas, además, desde el punto de vista pedagógico, a través de las referencias históricas, en la introducción de un nuevo concepto o teoría, tanto en la enseñanza media como en la superior, podemos activar el proceso del pensamiento y convertir la clase en una muestraera "fiesta intelectual".

    Por su valor educativo, la Historia de la Matemática pone ante nuestros ojos ejemplos ilustrativos de la vida intelectual de los grandes matemáticos lo cual no sólo posee un inmenso valor heurístico, como antes señalamos, sino es un magnífico recurso para la educación integral: en los ejemplos del pasado se educa a la juventud en el arte del descubrimiento, pero también en el espíritu de sacrificio y de consagración a la ciencia, de la honradez y la modestia, de los valores morales necesarios de todo el acontecer científico.

    No se está brindando una aprendizaje integral desde la enseñanza de la Matemática si sólo le presentamos a los educandos sus bellos teoremas expuestos por los eminentes hombres de la historia como sorprendentes y acabados resultados - ¡ qué realmente lo son! - sin exponer los fallidos intentos, las diferentes variantes experimentales y las motivaciones de cada investigador. ¡Cuánto valor heurístico y educativo se oculta en el análisis de la forma de trabajo de nuestros antiguos investigadores!

    En resumen, la Historia de la Matemática apoyada en unos profundos conocimientos metodológicos debe ser un ingrediente fundamental de todos los cursos: al nivel de la enseñanza general porque ayuda a la motivación del escolar medio - superior, pues evita la enajenación que los enfoques contemporáneos más abstractos y formales ofrecen y humaniza el proceso de enseñanza - aprendizaje de la Matemática, dándole a la fría osamenta de las estructuras y teoremas, la sangre vital y los canales comunicativos que necesita la clase para su real activación.

    Como se ha de suponer todo esto nos obligó a ejecutar un número importante de tareas que pudiobraban posibilitarnos el cumplimiento de nuestro propósito:

    1. Hacer un levantamiento bibliográfico para comprobar si existen trabajos en esta dirección en nuestro ISP y territorio con la óptica del auxilio para el maestro.
    2. Realizar un instrucción de los programas de la secunfacilitaria básica cubana, identificando desde él las invariantes más significativas.
    3. Constatar la situación del personal docente en relación con el uso de medios de enseñanza en las clases a partir de la concepción de los sistemas de clases.
    4. Valorar la utilización de los recursos históricos de la Matemática para presentar contenidos de esta asignatura y responder a la actividad de aprendizaje de valores.
    5. Fichar inaprendizaje actualizada sobre la Matemática en la Grecia Antigua.
    6. Solicitar criterios a profesores de experiencia sobre la utilización e importancia de los recursos históricos en la clase de Matemática.
    7. Redactar el material.

    CAPÍTULO 1

    La parte teórica de las Matemáticas tiene sus orígenes en las escuelas científicas y filosóficas de la Grecia antigua. La contribución de estas escuelas al desarrollo de la ciencia es tan significativa que incluso en nuestra época "las ciencias naturales teóricas, si quieren seguir la historia del surgimiento y desarrollo de sus tesis generales actuales, están obligadas a dirigirse a los griegos"[1;51p]

    No es asombroso que en la Matemática los griegos viobraban, no sólo un medio práctico útil, sino ante todo, la expresión de la profunda esencia del mundo, algo relacionado con la muestra y la naturaleza de las cosas. En el contexto de concepciones antropomórficas y mitológicas donde lo real estaba muy cerca de lo fantástico, ella aparece como un conocimiento de una naturaleza completamente distinta, cuya veracidad no promovía ninguna duda, cuyos hechos primarios obraban claros y las conclusiones obraban irrevocables, absolutas.

    Así se mistificó la Matemática, haciendo de ellas el punto de partida para todas las reflexiones en la descripción de la realidad.

    Con las características del pitagorismo y el atomismo matemático se comienza el análisis del surgimiento y desarrollo de las principales crisis en los fundamentos de la Matemática; la crisis en estos, dentro del período de su aprendizaje como ciencia ligada al descubrimiento de los "inconmensurables", produjo constantes reflexiones entre los matemáticos y filósofos sobre los principios teóricos del conocimiento matemático. Para salvar estas contradicciones, bien apuntadas por Zenón y más tarde por Aristóteles, entre otros, los matemáticos del mundo antiguo se negaron a la utilización en la Matemática de la idea de infinito y de movimiento o tratar de utilizar tales ideas en un mínimo. Así surgen las matemáticas de las magnitudes constantes que con la obra de Euclides reciben un impulso considerable el cual se va a concretar con su influencia en toda la Matemática hasta la aparición de la Geometría Analítica Cartesiana y más tarde con la Geometría no - euclidiana. En los "Elementos" de Euclides, la crisis en los fundamentos de la matemática se supera, pero sólo, por supuesto, desde el punto de vista del mundo antiguo, pues ni en todos sus aspectos ni de una forma precisa se resuelven todas las contradicciones, como el mismo Euclides tuvo que reaprender.

    La exigencia objetiva del tratamiento riguroso del "arte" del pensamiento matemático impuso a los matemáticos de la Antigua Grecia, la realización de un análisis del conglomerado de hechos matemáticos acumulados. Este análisis permitiría:

    - Encontrar las más simples y usadas concepciones matemáticas, las cuales juegan en el arte del pensamiento matemático el mismo papel que las categorías más simples de la gramática en el discurso humano.

    - Clasificar, organizar y unificar estos "elementos" del pensamiento matemático.

    - Formular, explícita, sucesiva y unívocamente, las reglas típicas de constitución de estos "elementos" en concepciones matemáticas más complejas.

    Así, al comienzo, la forma deductiva de la organización de los resultados matemáticos no tenía como objetivo la absoluta fundamentación de la matemática ni el descubrimiento de nuevos hechos, lo principal era permitir el efectivo instrucción del arte de operar con las concepciones matemáticas ya descubiertas, y la sistematización de los resultados encontrados: el canon de los fundamentos de la matemática aparece en las etapas del desarrollo de esta ciencia vinculada a las diferentes revoluciones o crisis que se produjeron al entrar en contradicción el caudal de conocimientos acumulados con las nuevas exigencias de la práctica social.

    En fin de cuentas, lo que interesa actualmente, tanto para la aprendizaje de investigadores como de profesores de Matemática, es encontrar los recursos didácticos conducentes a una educación activa y que brinden amplias perspectivas al futuro profesional de esta asignatura, en tales condiciones el enfoque histórico - metodológico emerge como un recurso insoslayable.

    Las matemáticas constituyen una de las formas más abstractas de la creación intelectual, sin embargo, están íntimamente asociadas al lenguaje y a la escritura de los hombres y forman parte de sus interrogantes prácticas o teóricas, es decir, de la historia de sus culturas.

    En el desarrollo de estas se destacaron los egipcios, mesopotámicos y griegos. Los dos primeros obraban expertos en métodos prácticos y ya habían acumulado una gran riqueza de resultados geométricos y aritméticos antes que los primeros viajeros griegos trabaran conocimientos con las matemáticas. Las antiguas civilizaciones no cedieron sus secretos maravillosos, ni descubrieron su naturaleza interna hasta que su visión imaginativa se percató de ello.

    Desde los siglos VIII y VII a.n.e se desarrolla en Grecia la sociedad esclavista antigua. Esto trajo consigo una agudización de la explotación. Los esclavos, catalogados como herramientas parlantes o animales, constituyeron entonces la base de partes esenciales de la producción. En Atenas, de 320 000 habitantes solamente 172 000 obraban jurídicamente libres, de estos, aproximadamente una tercera parte estaba en posesión de la ciudadanía ateniense que le permitiera participar en la vida política. La agudización de la explotación ofrecía a un determinado número de personas, naturalmente esclavista, la posibilidad de separarse del proceso de producción directo y dedicarse al arte, la cultura, la filosofía y la ciencia.

    Dos sistemas de numeración emplearon los griegos; uno, probablemente el más antiguo de los dos, constaba de signos especiales, la mayoría de los cuales obraban las iniciales de los nombres de los números, el otro estaba formado por las letras del alfabeto y unos cuantos símbolos más; se dividía en tres grupos:

    Téngase presente que los griegos no cultivaron la noción del "cero". La geometría fue el primer cuerpo de doctrina científica que ellos separaron de la filosofía.

    Acerca de las causas de la transaprendizaje de las matemáticas en una ciencia existen varias hipótesis. Al parecer, no hay dudas que las primeras teorías surgen en la Antigua Grecia, aproximadamente en el siglo VII a.n.e. Se diferencian cuatro períodos en lo que se refiere a método, contenido y alcance.

    PERÍODO JÓNICO

    Un primer período, temprano o de preparación, se denominó por su estrecha relación con los naturalistas jonios, Período Jónico, y se remonta desde las postrimerías del siglo VII a.n.e hasta mediados del siglo V a.n.e.

    Los pobladores de la zona Egea, que abarcaba desde el Ática a Quíos y Samos, y la vecina costa de Asia Menor, se convirtieron en los griegos jonios ( anexo ? 1 y 2 ). La Grecia Jónica constituyó la principal creadora de la cultura helénica.

    En esta época se forma en las ciudades - estado jónico - griegas una atmósfera intelectual favorable para el surgimiento del pensamiento científico. Así lograron los griegos el mérito de desarrollar partiendo de una matemática surgida casi empíricamente y practicada a modo de recetas, una ciencia matemática sistemática, independiente y expuesta de forma lógico - deductiva, con métodos y objetivos específicos.

    Los institutos griegos de " enseñanza superior ", en el ambiente de la intelectualidad de las ciudades jónicas, se convirtieron simplemente en grupos de personas que se agruparían para discutir asuntos filosóficos o charlar acerca de temas interesantes.

    Los conocimientos matemáticos en este período estaban totalmente incluidos en la filosofía. Se introducen demostraciones de teoremas sobre la base de la acumulación y el conocimiento de las relaciones matemáticas. El tesoro de sus experiencias, que en parte pudo tomarse de Mesopotamia y Egipto, adquirió entonces una estructura lógica, y se llevó a la clara diferenciación conceptual de los términos premisa, teorema y demostración: había nacido la Matemática.

    Sobre la base de una posición materialista - espontánea y dialéctica en la búsqueda de las causas los filósofos de esta época consumaron el tránsito de la clasificación y acumulación de fenómenos naturales hacia el intento de comprensión y explicación de la naturaleza. En esta filosofía se trataba del comienzo de una nueva etapa en la que a la pregunta sobre el origen del mundo se le trata de facilitar una respuesta sin misticismo, producto del intento de no sólo describir el mundo sino también de explicarlo.

    La ciudad de Mileto, por los contactos que tenía con el interior de Asia Menor, se convirtió en centro de distribución de productos comerciales. En ella actuaban los filósofos naturalistas jónicos más notables, entre ellos Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. También pertenecen a este período Demócrito de Abdera e Hipócrates de Quíos. Por otra parte, se fundó en Italia Meridional, la escuela pitagórica, bajo la dirección de Pitágoras. Sus seguidores brinfacilitaron notables aportes al desarrollo de la Matemática. Al final de esta etapa se destacó Arquitas, poderoso señor de la ciudad de Tarento ( anexo ? 1 y 2 ).

    Entre los primeros viajeros griegos se encontraba Tales, de la ciudad de Mileto (640-550 a.n.e). Fue el primero de los filósofos de la naturaleza que conoció bien los datos compilados de los babilonios. Como muchos comerciantes de su tiempo, se retiró pronto de los negocios, pero diferenciándose de otros, dedicó su ocio a la filosofía y a las matemáticas. Comprendió lo que había visto en sus viajes, particularmente en sus relaciones con los sacerdotes de Egipto, fue uno de los siete sabios de Grecia y el primero en poner de relieve el muestraero significado del saber científico egipcio. Según dicen introdujo en el mundo griego la geometría tomada de Egipto. Se le han atribuido las proposiciones:

    • Todo diámetro biseca al círculo.
    • El ángulo inscrito en un semicírculo es recto
    • Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
    • Los lados correspondientes a ángulos iguales en triángulos semejantes son proporcionales.

    Además, los teoremas de igualdad de los ángulos opuestos por el vértice y el de la congruencia de los triángulos que tienen respectivamente iguales un lado y los ángulos adyacentes a él.

    Aunque simples, estas proposiciones marcan una época y elevan los infinitos detalles de la medición egipcia a muestraes generales.

    En esta "Geometría de Tales" también tenemos el origen del álgebra; así el teorema de que el diámetro biseca al círculo, constituye una muestraera ecuación y en su experiencia para determinar la altura de la gran pirámide comparando su sombra con la de una vara vertical, se aprecia la noción de razones iguales o proporciones, a él se debe la idea de abstraer todo volumen y extensión superficial de una figura material y considerarla un modelo de línea. Indicó la importancia del lugar geométrico o curva trazada por un punto que se mueve según una ley definida; se conoce como el padre de la matemática, la astronomía y la filosofía griegas, combinó una perspicacia práctica con la sabiduría auténtica, pues sustentó la existencia de lo abstracto y más general lo cual para él era más valioso para un instrucción profundo que lo intuitivo o sensible. Lo anterior le es atribuible como filósofo.

    Los inicios de la matemática griega se caracterizaron por una mezcla particular de los razonamientos e ideas aritméticas y geométricas, que corresponden más bien a nuestra actual estructuración de la Matemática que a las circunstancias históricas en que la geometría y la aritmética o el álgebra se tratan por separado.

    La tradición aritmético - algebraica mesopotámica se hace particularmente evidente en la escuela pitagórica, (Samos) donde se brindó un notable aporte al desarrollo de la Matemática. El efecto social de las enseñanzas pitagóricas fue una clase dirigente nueva, cuyos miembros obraban seleccionados según la educación, pero que poseían, la mayoría, los atributos del sacerdocio. Contribuyó de gran manera al progreso de la noción racional del universo.

    Las fuentes para el instrucción del pitagorismo son escasas pues Pitágoras (569 ? 500), más que una escuela libre, como obraban las de todos los filósofos griegos, fundó un misterio con pruebas, iniciaciones, lenguajes simbólicos y obediencias exageradas a la palabra del maestro, en la asociación pitagórica entre los amigos se observaba una completa fidelidad, era condición esencial de la escuela la incomunicabilidad del pensamiento, se sabe que Aristóteles escribió varios libros sobre el pitagorismo, pero estos no han llegado hasta nosotros, y hoy todas las fuentes antiguas para el conocimiento de tan importante escuela filosófica se reducen a lo recopilado por Stobeo, un compilador griego de la época, que ha conservado los fragmentos de Arquitas y los de Filolao, pero ninguno fue discípulo directo de Pitágoras, y en Arquitas, uno de los más próximos al tiempo en que floreció el filósofo de Crotona, se ve clara y palpable la influencia socrática de donde se piensa que lo enseñado como doctrina de Pitágoras tal vez no sea más que una evolución o transaprendizaje del muestraero pitagorismo.

    En la actualidad se conoce que la doctrina de Pitágoras es principalmente matemática, que surge de la consideración de los números y las figuras, el número es la unión de lo uno y lo vario, o de lo par y de lo impar, a su vez los cuerpos sólidos se componen de superficies y líneas y estas de un determinado número de puntos que son simples y semejantes a las unidades aritméticas. El pitagorismo coloca la unidad, consecuencia necesaria de sus deducciones matemáticas, por encima de todo lo que es, como principio y como elemento; esto pasó de Platón a los filósofos alejandrinos y aún en la Edad Media se hallan vestigios de él.

    Encontramos el uso de la media aritmética , geométrica y armónica .

    Se conocía el trío de soluciones a la ecuación de las variables a, b y c que tiene la forma:

    a2+b2=c2, donde los valores de a, b, c se determinan por las expresiones: a=u2-v2 ; b=2uv y c=u2+v2 , donde u y v son dos números enteros, con u mayor que v; esta fórmula da solamente la llamada serie primitiva, ( aportada por los instrucciónsos de Mesopotamia) en la que a, b y c no tienen ningún factor común.

    Los pitagóricos encontraron el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números pitagóricos que tienen la forma:

    a=

    b= m

    c=, donde m es un número impar.

    Posteriormente Platón facilitaría a aprender una nueva serie con la siguiente forma:

    a=

    b = n

    c = , donde n es un número par.

    De época relativamente temprana data la llamada "Teoría del par o impar"; esta apareció posteriormente en el libro IX de los Elementos de Euclides.

    Allí se demuestran teoremas tales como:

    "Toda suma de números pares es par"

    "La suma de una cantidad par (impar) de números impares es par (impar)"

    "Un número impar que divide a un número par divide también a sus mitades". [2;32p]

    El punto culminante de la teoría pitagórica del "par" o "impar" es el teorema que plantea que los números de la forma: 2n (1+2+22+... +2n) son perfectos si la expresión del paréntesis es un número primo - un número "a" es perfecto si es igual a la suma de sus divisores incluyendo al 1, pero no a sí mismo -. Los pitagóricos daban como ejemplos: 1, 6, 28, 496 y 8128.

    Posteriormente aparece la teoría de las razones numéricas y la de la divisibilidad, estas partes se incluyeron en el libro VII de los Elementos del griego Euclides, siglos después.

    Se halló un equivalente para las fracciones, precisamente el de las razones numéricas: en lugar de simplificar una fracción se "simplificaban" razones numéricas. La acción de igualar los denominadores condujo lógicamente al instrucción del mínimo común múltiplo de los números. La teoría de las proporciones, de los números naturales, se basaba en la siguiente definición: "Los números se encuentran en proporciones, si el primero es del segundo múltiplo o la misma parte o el mismo conjunto de partes como el tercero es del cuarto".[2;32p]

    La teoría de la divisibilidad se basaba en las siguientes definiciones:

    "Número primo es un número que solamente puede medirse por la unidad".

    "Primos entre sí, son los números que solamente pueden medirse por la unidad como medida común".[2;32p]

    En lugar de la formulación más abstracta de un teorema (actualmente usual y posible) sobre la unicidad de la descomposición en factores primos, aparece el teorema siguiente (que presta igual servicio desde el punto de vista de la técnica de la demostración): "Si un número primo divide al producto de dos números, entonces divide a uno de estos números"[2;32p]. Este teorema se demuestra mediante el empleo del concepto "máximo común divisor".

    Las noticias o informaciones sobre la geometría pitagórica temprana son bastante inseguras. Es posible que Pitágoras haya conocido el núcleo del llamado teorema de Pitágoras en Babilonia; de él o de sus alumnos podría provenir una demostración.

    Una forma en que aparece demostrado el teorema parte del análisis geométrico a partir de la relación de áreas y del método de anexión, conocido ya, y es la siguiente:

    Sobre un cuadrado ABCD (fig - 1) de lado AB = a + b se sitúan sobre uno de ellos los segmentos a y b y sobre el consecutivo b y a en ese orden y se trazan los segmentos que determinan sobre el cuadrilátero dos rectángulos y dos cuadrados, es decir, el área de esta figura se ha dividido en forma tal que se corresponde con la conocida expresión del Período Jónico: "(a + b)2 =a2+ 2ab + b2"; luego se toma el mismo cuadrado (fig - 2) y sobre este se sitúan a partir de un vértice y de forma consecutiva los segmentos a y b determinando sobre cada uno de los lados un punto que al unirse forman un cuadrilátero para el cual es fácil demostrar que es un cuadrado, o sea el área del cuadrado es igual, si llamamos c al lado de este cuadradillo incluido, a la expresión matemática: de ello se establece, en nuestra notación, la siguiente igualdad:

    de donde resulta la relación pitagórica formulada en el teorema.

    La escuela pitagórica formuló este teorema, el cual plantea: (fig-3) "En todo triángulo, el cuadrado de la longitud del lado opuesto a un ángulo agudo (obtuso) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, más (menos) , el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él"[3;326p] es decir:

    a2 = b2 + c2 + 2bpc (b2 = a2 + c2 - 2apc)

    fig - 3

    También fue encontrado un enunciado análogo al teorema de Pitágoras, nombrado Teorema de la Geometría del Espacio (fig-4) el cual plantea que: la diagonal d de un paralelepípedo recto de lados a, b, c cumple: a2+b2+c2=d2 [3;326p]

    fig - 4

    De esta época debe datar también la demostración actualmente utilizada del teorema sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo (fig-5), mediante el empleo del concepto ángulo alterno.

    SeaABD y se traza por A la paralela AE a BD. Puesto que BD y CE son paralelas y los ángulos alternos son iguales, CAB= ABD, y EAD= ADB. Entonces: CAB + BAE = 1800

    CAB+BAD+DAE = CAB+BAE

    Luego, BAD+ADB+DBA = 180O.

    fig - 5

    Los pitagóricos de la primera época conocían ya el hexaedro regular, el tetraedro y el dodecaedro. De este último es asombroso el conocimiento que poseían.

    Arquitas de Tarento que se encontraba muy cerca de los pitagóricos y era señor de esta ciudad - estado del sur de Italia, encontró tiempo para participar activamente en la vida pública de su ciudad y fue conocido por su ilustrada actitud en el tratamiento de los esclavos y en la educación de los niños. Mediante su obra Platón se familiarizó con la Matemática. Con Arquitas, quien rindió por sí mismo notables aportes a la Matemática, especialmente a la teoría de la divisibilidad y al problema que se reducía a encontrar la posición de cierto punto en el espacio, llegó la fase más importante de la asociación de los pitagóricos.

    En estrecha relación con su obra se da el hecho de que en aquel momento se formó, como elemento unificador de la asociación pitagórica un tipo de ideología orientada por la Matemática, según la cual la interpretación del mundo como un todo y particularmente, esta ciencia, podía basarse en los números enteros y las razones de estos: a lo cual denominaron "arithmetica universalis".

    Dentro de la escuela pitagórica, aunque no posterior al 420 a.n.e se descubrió que existen segmentos no medibles recíprocamente (inconmensurables), cuyas longitudes no pueden expresarse mediante la razón de números enteros (utilizando una expresión moderna: existen números irracionales) . Este descubrimiento incompatible con la idea de una "arithmetica universalis", contribuyó, entre otros aspectos de orden social, a la destrucción de la asociación de los pitagóricos.

    Es casi seguro que el pentágono regular es la figura matemática en la cual se puede demostrar relativamente fácil la inconmensurabilidad (fig-6), precisamente con el antiguo método de "extracción alterna ".

    fig - 6

    Las diagonales de un pentágono regular forman nuevamente un pentágono regular y así sucesivamente, entonces se cumplen en los pentágonos surgidos mediante el encaje, las relaciones AE'=AB' y B'D=B'E' y por eso AD-AE=B'E y análogamente AE=ED'=EA' y B'E'=B'D=B'E y resulta AE-B'E'=B'A' y así sucesivamente, sin que se llegue al final: la diferencia entre la diagonal y el lado del pentágono mayor es igual a la diagonal del pentágono menor, la diferencia entre el lado del pentágono mayor y la diagonal del pentágono menor es igual al lado del pentágono menor; la diferencia entre la diagonal del pentágono menor y su lado es a su vez igual a la diagonal del pentágono menor inmediato, y así hasta el infinito. [2;34p] El proceso de extracción alterna puede continuarse, y por eso no puede hallarse una medida común máxima para la diagonal y el lado del pentágono regular, por tanto: existen segmentos recíprocamente inconmensurables.

    Otro destacado matemático de este período fue Demócrito de Abdera (460-370 a.n.e). Carlos Marx lo llamó la primera mente enciclopédica de los griegos; y Vladimir Ilich Lenin lo definió como el más caracterizado representante del materialismo en la Antigüedad. Gastó toda su fortuna heredada de su padre en la búsqueda de conocimientos, pero su riqueza se ha conservado y se multiplica, esta riqueza recibe el nombre de ciencia. Con su propia vida, Demócrito demostró qué constituye un muestraero valor, y qué un falso valor; qué es eterno, y qué perecedero; qué es digno del hombre, y qué indigno de él. Gracias a él la filosofÍa de la naturaleza llega a su punto culminante, con un esfuerzo de explicación del universo en función de lo puramente fIsico y material. Ha sido famoso, desde tiempos lejanos, como el creador de la teoría atomista, su obra matemática sólo ha visto la luz muy recientemente, esto sucedió en 1906 cuando se descubrió un libro perdido de Arquímedes titulado "Método", donde él considera a Demócrito como el primer matemático que estableció correctamente la fórmula del volumen de un cono o de una pirámide, "cada uno de estos es la tercera parte de un cilindro o un prisma, circunscrito con la misma base" [4,42p] . Para alcanzar estas conclusiones, consideró estos sólidos como si estuviobraban formados por innumerables capas paralelas; en el caso del cilindro no había ninguna dificultad, pues todas las capas serían iguales; pero en el cono o en la pirámide el tamaño iría disminuyendo de capa hasta llegar a un punto. Los tamaños menguantes le confundían: " ¿ son iguales o desiguales? ", Preguntaba: " pues si son desiguales, el cono será irregular, como si tuviera muchas incisiones, como escalones, y asperezas; pero si son iguales, las secciones serán iguales y el cono tendrá la propiedad del cilindro y estará formado por círculos iguales, y no desiguales, lo cual es totalmente absurdo " [4, 42p].

    La noción de que un cuerpo geométrico podía considerarse como formado por una capa sobre otra, se le aparece con toda naturalidad a Demócrito por ser éste un físico. Esto no se le hubiera ocurrido tan fácilmente a otros matemáticos con su modo de pensamiento más algebraico, que les atraía hacia las normas u orden de las cosas, aquí el agudo pensamiento griego se muestra impaciente una vez más, pues aparece la infancia del cálculo infinitesimal, ninguna aproximación tosca e inmediata satisfará a Demócrito; existe una discrepancia entre la pirámide estratificada y el acabado liso del todo. La profundidad de la teoría de límites se halla en sus inicios, pero no se sabe hasta qué punto él instuyó alguna solución.

    Sus escritos de Matemática se refieren, entre otros, a los tratados "sobre el contacto de la circunferencia y la esfera", "sobre Geometría", "sobre números", "sobre desarrollo" (o sea, aplicación de la superficie de la esfera sobre el plano).

    En este rico período de la Matemática hay un notable aporte en los trabajos de Hipócrates quien vino de Quíos a Atenas a mediados del siglo V a.n.e, llegando a ser el geómetra más famoso de esta época. Fue el primer autor conocido que haya escrito un tratado de matemáticas elementales; dedicó especial atención a las propiedades del círculo. En su obra pueden hallarse resultados matemáticos interesantes: reconoció el nexo entre el ángulo central y el arco, pudo construir el hexágono regular y la circunferencia circunscrita a un triángulo, empleó el concepto de semejanza, sabía que las áreas de figuras semejantes se comportaban como los cuadrados de lados correspondientes. Su éxito principal es la demostración de la hipótesis que plantea que los círculos se hallan entre sí en la misma razón que los cuadrados de sus diámetros. Esto equivale al descubrimiento de la fórmula r2, del área del círculo en función de su radio, lo cual significa que existe determinado número y que es el mismo para todos los círculos, si bien su método no da el valor numérico real de . Llegó a estas conclusiones considobrabando el círculo como el límite de un polígono regular, ya sea inscrito o circunscrito. Este fue el primer ejemplo del método exhaustivo, una utilización particular de la aproximación por encima o por debajo del límite deseado. La introducción de este método fue un importante eslabón que culmina en la obra de Eudoxio y Arquímedes, además acercó un paso más a la perspectiva de descifrar el misterio de los números irracionales.

    Su nombre se relaciona estrechamente con dos de los problemas clásicos más famosos de la Matemática: la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo que se detallarán más adelante.

    La tradición aritmético - algebraica mesopotámica nunca se perdió en la Matemática Griega, las fuentes muestran que se asimiló el contenido de los resultados, se pueden encontrar las mismas formas normales para sistemas de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas, ejemplos con los mismos coeficientes numéricos, el empleo, entre otras cosas, de la media aritmética, geométrica y armónica entre otros detalles.

    PERÍODO ATENIENSE

    El segundo período de la Matemática Griega según nuestra periodización se le conoce como Periodo Ateniense y se enmarca aproximadamente entre los años (550-320/300) a.n.e.

    En esta época Atenas alcanzó un lugar dirigente entre las ciudades - estado griegas, la democracia esclavista llegó a su máximo esplendor. Esta no se puede comparar con la moderna, la expansión económica griega tampoco puede compararse con ningún sistema de economía moderna. Los artesanos extranjeros encontraban allí empleo en empresas manufactureras y en el comercio. En esta ciudad existía una democracia esclavista, fundada en un excedente económico, donde se desarrollaba la minería y la industria, la cual no era manejada por sus ciudadanos. La sociedad ateniense era del todo masculina, pues la mujer era excluida de todas las labores sociales.

    El contacto de los griegos con Egipto, Mesopotamia y Siria se estableció y se mantuvo merced a los marinos, mercenarios, comerciantes y viajeros que ya por el año 600 a.n.e obraban bien conocidos.

    En la cultura griega, sobre todo en la democracia, se consideraba que las obras realizadas por los individuos, representaban un servicio estimable; en Atenas se consideraban útiles el desarrollo de las aptitudes y energías individuales en actividades de toda suerte. El notable desarrollo intelectual y artístico fomentado por su régimen democrático fue producto de esa libertad. La concepción griega acerca del papel que desempeña el individuo en la vida del grupo tuvo sin duda hondas raíces en las circunstancias históricas de la evolución del pueblo helénico.

    Hacia el año 460 a.n.e, al convertirse Atenas ( anexo 1 y 2 ) en el centro intelectual, comercial y político del mundo griego, empezaron a influir en el desarrollo de la filosofía circunstancias nuevas que dejaron libres las energías de los ciudadanos comunes. La victoria alcanzada contra los persas, en la batalla de Maratón y Salamina, inspiró a los griegos un sentimiento de superioridad con respecto a los pueblos del Antiguo Oriente, a quienes durante mucho tiempo habían considerado superiores. Con la expansión del comercio y la industria el acopio de riquezas se hizo más fácil, pero también provocó una emulación más intensa. En esta época la obra de los sofistas fue mucho más que un movimiento pedagógico: fue un movimiento ético preocupado por los problemas prácticos acerca de la virtud más grande, la validez subjetiva de la muestra.

    En este período Atenas vivió un florecimiento cultural se edificó la Acrópolis, se crearon obras maestras de escultura, surgieron obras dramáticas, Sócrates, Platón y Aristóteles funfacilitaron influyentes escuelas de filosofía. El idealismo filosófico especialmente el de Platón obtuvo el predominio sobre las tradiciones materialistas de la filosofía naturalista jónica.

    Las relaciones de Platón con la Matemática datan de la época de su estancia junto a Arquitas. A partir de entonces Platón consideró la Matemática como el ejemplo de una ciencia que puede llegar a sus resultados mediante el simple pensamiento; esta actitud filosófica, significaba, por una parte, un fortalecimiento de la base metodológica de esta ciencia, la cual desarrolla deductivamente sus demostraciones a partir de definiciones y premisas, por otro lado, significaba, además, el fortalecimiento del idealismo objetivo filosófico. El platonismo estableció el subjetivismo como contenido del conocimiento y desde entonces penetró en el proceder de muchas corrientes y escuelas que se enfrentaron desde sus puntos de vistas.

    En este contexto general comenzó la búsqueda de medios para superar las dificultades internas de la Matemática de este tiempo: existen segmentos recíprocamente inconmensurables, se les puede construir, pero no existe un número natural ni razón alguna de números que pueda ser equivalente aritmético del objeto geométrico. [2;36p]

    Una salida a esta contradicción interna podría haber sido la elaboración del concepto número irracional, sin embargo, no se le dio solución en la antigüedad ya que conceptualmente no se manejaban los pasos al límite de forma general necesarios para su formulación completa. Así, la Matemática antigua avanzó más bien en otra dirección, mediante la elaboración del método bautizado por el historiador de las ciencias Zeuthen como "álgebra - geométrica", es decir, un tipo de Matemática que aborda los problemas algebraicos mediante construcciones geométricas, y que perduró por muchos siglos como lineamiento metodológico para solucionar gran cantidad de problemas.

    Los elementos primarios del álgebra - geométrica resultaron los segmentos de rectas, con ellos fueron definidas todas las operaciones del cálculo:

    - la suma se interpretaba como la adición de segmentos.( fig ? 7 )

    fig - 7

    - la diferencia como la eliminación de una parte del segmento igual al segmento sustrayendo.( fig ? 8 )

    fig - 8

    La multiplicación de segmentos condujo a la construcción de una representación bidimensional y el producto de los segmentos a y b se consideraba un rectángulo con lados a y b. El producto de tres segmentos daba un paralelepípedo, y el producto de un número mayor de factores en el álgebra - geométrica no podía considerarse. La división resultaba posible sólo bajo la condición de que la dimensión del dividendo fuera mayor que la dimensión del divisor. Ella se interpretaba como equivalente al problema de anexión de áreas:

    Anexar al segmento c un rectángulo equivalente al dado (ab). La resolución del problema ( fig-9) consiste en la adjunción uno a otro de los rectángulos ab y bc en la construcción de un nuevo rectángulo, la diagonal del cual es la diagonal del rectángulo bc prolongada hasta la intersección con la prolongación del lado b, entonces los rectángulos ab y cx resultan equivalentes por tener sus áreas iguales y el problema está resuelto. El método de anexión de áreas descrito aquí, permitió resolver problemas que conducían a ecuaciones lineales y llevaba el nombre de método parabólico.

    Con conocimientos elementales de geometría plana puede demostrarse que los rectángulos de área ab y cx son iguales, a partir de la relación entre los lados homólogos de los triángulos semejantes que se forman al trazar la diagonal.

    fig - 9

    En el álgebra - geométrica también se incluía el conjunto de proposiciones que interpretaban las identidades algebraicas (fig-10). Por ejemplo las interpretaciones geométricas de las identidades:

    (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

    (a + b + c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

    (a ? b)2 = a2-2ab + b2

    fig - 10

    (a ? b)2 = a2 ? 2b(a ? b) ? b2

    = a2 ? 2ab + 2b2 ? b2

    = a2 ? 2ab + b2

    El método de anexión de áreas fue extendido también al caso en que la resolución del problema conduce a una ecuación cuadrática, ejemplos de tales problemas lo constituyen la determinación del lado del polígono regular inscrito: la llamada "división áurea" del segmento, esto es, la división del segmento a en dos partes: x y (a - x) que satisfacen la relación , además otro problema de la época constituyó la determinación de la arista cuya expresión x2= a ( a ? x ) da una forma de escribir con nuestra notación una ecuación cuadrática de la forma x2 + ax = a2, que tiene en sus inicios solución geométrica y sólo muchos siglos después solución aritmético ? geométrica y finalmente algebraica y otro caso es la expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la esfera circunscrita.

    Es evidente que este método sólo daba una raíz positiva de la ecuación cuadrática. Los matemáticos antiguos comprendían la necesidad de formular las condiciones del problema del álgebra ? geométrica de manera que ellos, a ciencia cierta, tuviobraban una solución positiva, por eso en los casos necesarios imponían limitaciones a las condiciones del problema. Estas

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