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    En ocasiones de género sencilla no se realizan armar las integrales, en otras ocasiones parece existencia que pudiéramos suplir de género inmediata debido a que a primera inspección encontramos similitud con las formulas que tenemos en las mesas de formulas. implícitamente existen algunas de las mismas formulas que ostentamos menguar mediante algunas técnicas, como la que en esta ocasión nos ocupa, veamos el siguiente ejemplo:   Deduce la siguiente formula:

     

    Pensemos en una sustitución que podamos armar en la integral de tal modelo que nos permita una combinación inmediata. Recordemos que:

    obexistenciavemos que sucede si hacemos un metamorfosis de discontinuo que nos conduzca a el uso de esta sustitución, especialmente, sustituyamos

      

    Recordemos que a  lo también queda expresado como:

               

     de en el cual 

    en el cual la nueva c se ha juntado con la constante generada con el logaritmo: 

    al igual que esta integral se realizan topar de la misma modelo algunas otras, vale la pena seguir la siguiente recomendación:

      

    hemos de descifrar que esas sustituciones surgen al igual que la sustitución del ejercicio anterior, de obexistenciavación y comparación de las propiedades trigonométricas:

    Calcular la siguiente integral  y comprobar

       

    Solución:

    como ostentamos comprobar la combinación no se puede armar de género inmediata. Antes de armar alguna sustitución valdría la pena hacer alguna factorización en el enérgico

    realizando la sustitución

     

    por lo tanto: 

    como en aquel tiempo:

      del triangulo rectángulo siguiente identificamos:

    la hipotenusa es 2x y el cateto adyacente es 3 por lo tanto el cateto oluegoto es igual a:

    por lo que

     Comprobación del resultado.

    simplificando tenemos:

    Se sugieren los siguientes ejercicios:

    Sustitución trigonométrica

     A menudo es posible obexistenciavar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la modelo:

    MathType 5.0 Equation

    Se elimina el enérgico haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene competencias trigonométricas cuya combinación nos es conocido. En la siguiente mesa se muestra cuál debe existencia la sustitución:

    Expresión en el integrando

    Sustitución trigonométrica

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation




     evolucións resueltos

    En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    Documento Microsoft Office Word

    Documento Microsoft Office Word

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    S o l u c i o n e s

     MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    Imagen de mapa de bits

    Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

    MathType 5.0 Equation

     MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    Imagen de mapa de bits

    (Fig.1)

    Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

    MathType 5.0 Equation

     MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

     Documento Microsoft Office Word

    Documento Microsoft Office Word

    Imagen de mapa de bits

    Documento Microsoft Office Word

     Documento Microsoft Office Word

    Documento Microsoft Office Word

    Imagen de mapa de bits

    Documento de Microsoft Word

     MathType 5.0 Equation

    Documento Microsoft Office Word


    Integración por sustitución trigonométrica

    Las sustituciones que involucran competencias trigonométricas se realizan llevar a beta en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la modelo:

    $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}},\;\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}, \sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}}}$con $a > 0$y $b>0$

    La sustitución trigonométrica permite transmodelor una integral en otra que contiene competencias trigonométricas cuyo proceso de combinación es más sencillo.

    Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:

    A .        El integrando contiene una función de la modelo $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}}}$con $a>0\; , \;b>0$

    Se hace el metamorfosis de discontinuo escribiendo

    $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta,}$en el cual $\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[\; y \;x\;\varepsilon \left]\frac{-a}{b}, \frac{a}{b}\right[$

    Si $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$en aquel tiempo $dx = \frac{a}{b}\;cos\;\theta\;d\theta$

    Además:

    $\displaystyle {=\sqrt{a^{2}(1-sen^{2}\theta)} = \sqrt{a^{2}\;cos^{2}\theta} = \vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta,}$luego $a > 0$y como

    $\displaystyle {\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$en aquel tiempo $cos\;\theta>0$por lo que $\vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta$

    de súbito: $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}} = a\;cos\;\theta}$

    Como $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$en aquel tiempo $sen\;\theta = \frac{bx}{a} \; y\; \theta = arcsen\left(\frac{bx}{a}\right)$

    Para este caso, las otras competencias trigonométricas realizan obtenerse a rajar de la aire siguiente:

    Ejemplos:

    1.

    $\displaystyle {\int \sqrt{16 - x^{2}}\;dx\; x \varepsilon ]-4,4[}$


    coexista $\displaystyle {x = 4\;sen\;\theta}$con $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = 4\;cos\;\theta\; d \theta}$

    de súbito: $\displaystyle {16-x^{2} = 16-16\;sen^{2}\theta = 16\;(1-sen^{2}\theta) = 16\;cos^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{16-x^{2}} = 4\;cos\;\theta}$

    Sustituyendo:

    $\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = \int 4\;cos\;\theta \cdot 4\;cos\;\theta\;d\theta = 16\int cos^{2}\theta\;d\theta}$

    $\displaystyle {= 16\int \frac{1+cos\;2\theta}{2}\;d\theta = 8\int (1+cos\;2\theta)\;d\theta}$

    $\displaystyle {= 8\;(\theta + \frac{1}{2}\;sen\;\theta) + C}$

    $\displaystyle {= 8\theta + 4\cdot 2\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

    $\displaystyle {= 8\theta + 8\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

    Como $\displaystyle {x = 4\;sen\;\theta}$en aquel tiempo $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{4}}$y $\displaystyle {\theta = arcsen\left(\frac{x}{4}\right)}$

    Además $\displaystyle {\sqrt{16-x^{2}} = 4\;cos\;\theta}$por lo que $\displaystyle {cos\;\theta = \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}}$

    Estos resultados también realizan obtenerse a rajar de la aire siguiente:

    Por último:

    $\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = 8\;\theta + 8\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

    $\displaystyle {=8\;arcsen\left(\frac{x}{4}\right) + 8\cdot \frac{x}{4}\cdot \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4} + C}$

    $\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = 8\;arcsen\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{2} + C}$

    2.

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}},\; x \varepsilon \left]\frac{-5}{2},\frac{5}{2}\right[}$

    coexista $\displaystyle {x = \frac{5}{2}\;sen\;\theta,\; \theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = \frac{5}{2}\;cos\;\theta\;d\theta}$

    de súbito $\displaystyle {25-4x^{2} = 25-4\cdot \frac{25}{4}\;sen^{2}\theta = 25-25\;sen^{2}\theta}$

    $\displaystyle {25-4x^{2} = 25(1-sen^{2}\theta) = 25\;cos^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{25-4x^{2}} = 5\;cos\;\theta}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}} = \int \frac{\frac{5}{2}\;cos\... ...sen\;\theta\cdot 5\;cos\;\theta} = \frac{1}{5}\int \frac{d\theta}{sen\;\theta}}$

    $\displaystyle {=\frac{1}{5}\int csc\;\theta\;d\theta}$

    $\displaystyle {=\frac{1}{5} \;ln\vert csc\;\theta - cot\;\theta\vert + C}$

    Como $\displaystyle {x = \frac{5}{2}\;sen\;\theta}$en aquel tiempo $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{2x}{5}}$por lo que puede utilizarse la siguiente aire para dar el resultado final:

    $\displaystyle {csc\;\theta = \frac{1}{sen\;\theta} = \frac{1}{\frac{2x}{5}} = \frac{5}{2x}}$

     

    de súbito:

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}} = \frac{1}{5}\;ln\left\vert\frac{5}{2x} - \frac{\sqrt{25-4x^{2}}}{2x} \right\vert + C }$

    3.

    $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{4-x^{2}}},\; x \varepsilon ]-2,2[}$

    coexista $\displaystyle {x = 2\;sen\;\theta\; \hspace{2cm} \theta\;\varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = 2\;cos\;\theta\;d\theta}$

    Además: $\displaystyle {4-x^{2} = 4-4\;sen^{2}\theta = 4\;cos^{2}\theta}$

    $\displaystyle { \sqrt{4-x^{2}} = 2\;cos\;\theta}$

    Sustituyendo:

    $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{4-x^{2}}} = \int \frac{(2\;sen\;\theta)^{2}\;2\;cos\;\theta\;d\theta}{2\;cos\;\theta}= 4 \int sen^{2}\theta \;d\theta}$

    $\displaystyle {= 4\int \frac{1-cos\;2\theta}{2}\;d\theta = 2 \int (1 - cos\;2\theta)\;d\theta}$

    $\displaystyle {= 2\left(\theta - \frac{1}{2}\;sen\;2\theta\right) + C}$

    $\displaystyle {= 2\theta - 2\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

    $\displaystyle {= 2\;arcsen\left(\frac{x}{2}\right) - 2\;\cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2} + C}$

    $\displaystyle {= 2\;arcsen\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{x\;(4-x^{2})}{2} + C}$

    4.

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{(5-x^{2})^{\frac{3}{2}}},\; x \varepsilon ]-\sqrt{5},\sqrt{5}[}$

    coexista $\displaystyle {x = \sqrt{5}\;sen\;\theta\; \hspace{2cm} \theta\;\varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = \sqrt{5}\;cos\;\theta\;d\theta}$

    de súbito $\displaystyle {5-x^{2} = 5-5\;sen^{2}\theta = 5\;cos^{2}\theta}$

    $\displaystyle {(5-x^{2})^{\frac{3}{2}} = (5\;cos^{2}\theta)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{(5\;cos^{2}\theta)^{3}}}$

    $\displaystyle {(\sqrt{5}\;cos\;\theta)^{3} = 5\;\sqrt{5}\;cos^{3}\theta}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{(5-x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{\sqrt{5}\;c... ...} \int \frac{d\theta}{cos^{2}\theta} = \frac{1}{5} \int sec^{2}\theta\;d\theta}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{5}\;tan\;\theta + C}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{5}\cdot \frac{x}{\sqrt{5-x^{2}}} + C}$

    luego $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{\sqrt{5}}}$y $\displaystyle {cos\;\theta = \frac{\sqrt{5-x^{2}}}{\sqrt{5}}}$

    También puede utilizarse:

    5.

    $\displaystyle {\int x^{2}\;\sqrt{25-x^{2}}\;dx}$  evolución para el becario

    6.

    $\displaystyle {\int \frac{x^{2}}{(4-x)^{\frac{3}{2}}}\;dx}$        evolución para el becario

    7.

    $\displaystyle {\int \frac{x^{3}\;dx}{\sqrt{16-x^{2}}}}$           evolución para el becario

    B)             El integrando contiene una expresión de la modelo $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}}$con $a>0\; , \;b>0$

    Hacemos un metamorfosis de discontinuo escribiendo $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;tan\;\theta,}$en el cual $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$y $x \varepsilon I\!\!R$

    Si $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;tan\;\theta}$en aquel tiempo $\displaystyle {dx = \frac{a}{b}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

    Además $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} \cdot \frac{a^{2}}{b^{2}}\;tan^{2}\theta} = \sqrt{a^{2} + a^{2}\;tan^{2}\theta}}$

    $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = \sqrt{a^{2}(1+tan^{2}\theta )} = \sqrt{a^{2}\;sec^{2}\theta} = \vert a\;sec\;\theta\vert}$

    Como ${a>0}$y $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$en aquel tiempo $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{1}{cos\;\theta}}$es positiva

    y por tanto $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = a\;sec\;\theta}$

    Las otras competencias trigonométricas realizan obtenerse a rajar de la siguiente aire:

             Ejemplos:

    1.

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^{2}}}}$

    coexista $\displaystyle {x = 2\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = 2\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

    de súbito: $\displaystyle {4+x^{2} = 4+4\;tan^{2}\theta = 4(1 + tan^{2}\theta)}$

    $\displaystyle {4+x^{2} = 4\;sec^{2}\theta }$

    $\displaystyle {\sqrt{4+x^{2}} = \sqrt{4\;sec^{2}\theta} = \vert 2\;sec\;\theta\vert = 2\;sec\;\Theta}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^{2}}} = \int \frac{2\;sec^{2}\theta\;d\theta}{2\;sec\;\theta} = \int sec\;\theta\;d\theta}$

    $\displaystyle {ln\;\vert sec\;\theta+ tan\;\theta\vert + C}$

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^{2}}} = ln\left\vert \frac{\sqrt{4+x^{2}}}{2} + \frac{x}{2}\right\vert + C}$

    2.

    $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{x^{2}+6}}}$

    coexista $\displaystyle {x = \sqrt{6}\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = \sqrt{6}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

    de súbito: $\displaystyle {x^{2} + 6 = 6\;tan^{2}\theta + 6 = 6(tan^{2}\theta + 1) = 6\;sec^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{x^{2}+6} = \sqrt{6\;sec^{2}\theta} = \sqrt{6}\;sec\;\theta... ...heta>0 si \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[\right)}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{x^{2}}{\sqrt{^{2}+6}}\;dx = \int \frac{6\;tan^{2}\the... ...a\;d\theta}{\sqrt{6}\;sec\;\theta} = 6\int tan^{2}\theta\;sec\;\theta\;d\theta}$

    $\displaystyle {= 6 \int (sec^{2}\theta - 1)\;sec\;\theta\;d\theta = 6\int(sec^{3} - sec\;\theta)\;d\theta}$

    $\displaystyle {= 6 \left[\frac{1}{2}(sec\;\theta\;tan\;\theta) + ln\;\vert sec\... ...eta + tan\;\theta\vert\right] -6\;ln\;\vert sec\;\theta + tan\;\theta\vert + C}$

    $\displaystyle {= 3 sec\;\theta\;tan\;\theta - 3\;ln\;\vert sec\;\theta + tan\;\theta\vert + C}$

    $\displaystyle {= 3 \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+6}}{\sqrt{6}}\cdot \frac{x}{\sqrt{6}... ...;\left\vert\frac{\sqrt{x^{2}+6}}{\sqrt{6}} + \frac{x}{\sqrt{6}}\right\vert + C}$

    $\displaystyle {= \frac{x\sqrt{x^{2}+6}}{2} - 3\;ln\;\left\vert\frac{\sqrt{x^{2}+6} + x}{\sqrt{6}}\right\vert + C}$

    3.

    $\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(9+4x^{2})^{\frac{3}{2}}}}$

    coexista $\displaystyle {x = \frac{3}{2}\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = \frac{3}{2}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

    de súbito $\displaystyle {9 + 4x^{2} = 9 + 4\cdot \frac{9}{4}\;tan^{2}\theta = 9 + 9\;tan^{2}\theta = 9(1 + tan^{2}\theta)}$

    $\displaystyle {9 + 4x^{2} = 9\;sec^{2}\theta}$

    $\displaystyle {(9 + 4x^{2})^{\frac{3}{2}} = (9\;sec^{2}\theta)^{\frac{3}{2}} = (9\;sec^{2}\theta)^{3}}$

    $\displaystyle {(9 + 4x^{2})^{\frac{3}{2}} = (3\;sec\;\theta)^{3} = 27\;sec^{3}\theta}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(9+4x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{\frac{3... ...}\theta}\;d\theta = \frac{1}{12} \int \frac{tan\;\theta\;d\theta}{sec\;\theta}}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{12} \int \frac{\frac{sen\;\theta}{cos\;\theta}}{\frac... ...heta = \frac{1}{12} \int sen\;\theta\;d\theta = \frac{1}{12}(-cos\;\theta) + C}$

    Como

    $\displaystyle {tan\;\theta = \frac{2x}{3}}$de la sustitución elemental

    Por tanto:

    $\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(9+4x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{-1}{12} \cdot\frac{3}{\sqrt{9+4x^{2}}} + C}$

    $\displaystyle {= \frac{-1}{4\sqrt{9+4x^{2}}} + C }$

    4.

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}}}$

    coexista $\displaystyle {x = \sqrt{3}\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = \sqrt{3}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

    de súbito $\displaystyle {x^{2} + 3 = 3\;tan^{2}\theta + 3 = 3(tan^{2}\theta + 1) = 3\;sec^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{x^{2}+3} = \sqrt{3\;sec^{2}\theta} = \sqrt{3}\;sec\;\theta}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}} = \int \frac{\sqrt{3}\;sec^{... ...{3}\;sec\;\theta} = \frac{1}{9}\int \frac{sec\;\theta\;d\theta}{tan^{4}\theta}}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{9} \int \frac{cos^{4}\theta}{cos\;\theta\cdot sen^{4}\theta}\;d\theta = \frac{1}{9}\int \frac{cos^{3}\theta}{sen^{4}\theta}\;d\theta}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{9} \int \frac{(1-sen^{2}\theta)cos\;\theta}{sen^{4}\t... ...n^{4}\theta}- \frac{sen^{2}\theta\;cos\;\theta}{sen^{4}\theta}\right)\;d\theta}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{9} \int cos\;\theta(sen\;\theta)^{-4}\;d\theta - \frac{1}{9}\int cos\;\theta(sen\;\theta)^{-2}\;d\theta}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{9}\;\frac{(sen\;\theta)^{-3}}{-3} - \frac{1}{9}\;\frac{(sen\;\theta)^{-1}}{-1} + C}$

    $\displaystyle {= \frac{-1}{27\;sen^{3}\theta} + \frac{csc\;\theta}{9} + C}$

    Como $\displaystyle {x = \sqrt{3}\;tan\;\theta}$en aquel tiempo $\displaystyle {tan\;\theta = \frac{x}{3}}$

    Por lo que:

    se obtiene: $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}, csc\;\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}}$

    Por último:

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}} = \frac{-(\sqrt{x^{2} + 3})^{3}}{27\;x^{3}} + \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{9x} + C}$

    5.

    $\displaystyle {\int \frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{x}\;dx}$  evolución para el becario

    6.

    $\displaystyle {\int \frac{x^{3}\;dx}{\sqrt{9+3x^{2}}}\;dx}$  evolución para el becario

    c.

    El integrando contiene una expresión de la modelo $\displaystyle {\sqrt{b^{2}x^{2}- a^{2}}}$con $a > 0$y $b>0$

    En este caso la sustitución adecuada es:

    $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;sec\;\theta,}$en el cual $\displaystyle {\theta \varepsilon \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ \;U\;\left]\pi, \frac{3\pi}{2} \right[}$

    y $\displaystyle {x\; \varepsilon \left]-\infty, \frac{-a}{b}\right[ \bigcup \left]\frac{a}{b}, +\infty, \right[, o\; sea \vert x\vert>\frac{a}{b}}$

    Si $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;sec\;\theta}$en aquel tiempo $\displaystyle {dx = \frac{a}{b}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}$

    Además $\displaystyle {\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}} = \sqrt{b^{2}\cdot \frac{a^{2}}{b^{2}}\cdot sec^{2}\theta -a^{2}} = \sqrt{a^{2}(sec^{2}\theta-1)}}$

    de en el cual $\displaystyle {\sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}} = \sqrt{a^{2}\;tan^{2}\theta} = \vert a\;tan\;\theta\vert = a\;tan\;\theta,}$

    luego $a > 0$y $tan\;\theta>0$para $\theta \varepsilon \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ \bigcup \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$

    Como $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;sec\;\theta}$en aquel tiempo $\displaystyle {sec\;\theta = \frac{bx}{a}}$por lo que $\displaystyle {\theta = arcsen\left(\frac{bx}{a}\right)}$

    Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las otras competencias trigonométricas:

    Ejemplos:

    1.

    $\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{\sqrt{x^{2}-9}}, \vert x\vert>3}$

     coexista $\displaystyle {x = 3\;sec\;\theta}$

    $\displaystyle {dx = 3\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta, \theta \varepsilon \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ \bigcup \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[}$

    de súbito $\displaystyle {x^{2}-9= 9\;sec^{2}\theta-9 = 9(sec^{2}\theta-1) = 9\;tan^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{x^{2}-9} = \sqrt{9\;tan^{2}\theta} = 3\;tan\;\theta}$

    Sustituyendo:

    $\displaystyle {\int \frac {x\;dx}{\sqrt{x^{2}-9}} = \int \frac{3\;sec\;\theta \cdot 3\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}{3\;tan\;\theta}}$

    $\displaystyle {= 3\int sec^{2}\theta\;d\theta = 3\;tan\;\theta + C = \sqrt{x^{2}-9}}$

    2.

    $\displaystyle {\int \frac{\sqrt{4x^{2}-1}}{x}\;dx, \vert x\vert>\frac{1}{4}}$

    coexista $\displaystyle {x = \frac{1}{2}\;sec\;\theta}$

    $\displaystyle {dx = \frac{1}{2}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}$

    de súbito $\displaystyle {4x^{2}-1= 4\cdot\frac{1}{4}\;sec^{2}\theta-1 = sec^{2}\theta-1 = tan^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{4x^{2}-1} = \sqrt{tan^{2}\theta} = tan\;\theta}$

    Sustituyendo:

    $\displaystyle {\int \frac{\sqrt{4x^{2}-1}}{x}\;dx = \int \frac{tan\;\theta\cdot \frac{1}{2}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}{\frac{1}{2}\;sec\;\theta}}$

    $\displaystyle {= \int tan^{2}\theta\;d\theta = \int(sec^{2}\theta-1)\;d\theta}$

    $\displaystyle {= \int tan\;\theta - \theta + C = \sqrt{4x^{2}-1} - arcsec\;(2x) + C}$

    3.

    $\displaystyle {\int \frac{du}{u^{2}\sqrt{u^{2}-8}}, \vert u\vert>2\sqrt{2}}$

    coexista $\displaystyle {u = \sqrt{8}\;sec\;\theta}$

    $\displaystyle {du = \sqrt{8}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}$

    de súbito $\displaystyle {u^{2}-8= 8\;sec^{2}\theta-8 = 8(sec^{2}\theta-1) = 8\;tan^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{u^{2}-8} = \sqrt{8\;tan^{2}\theta} = \sqrt{8}\;tan\;\theta}$

    Sustituyendo:

    $\displaystyle {\int \frac{du}{u^{2}\sqrt{u^{2}-8}} = \int \frac{\sqrt{8}\;sec\;... ...2}\theta\;\sqrt{8}\;tan\;\theta} = \frac{1}{8}\int \frac{d\theta}{sec\;\theta}}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{8}\int cos\;\theta\;d\theta = \frac{1}{8}\;sen\;\theta + C}$

    Como $\displaystyle {sec\;\theta = \frac{u}{\sqrt{8}}}$puede utiliz

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    2 Comentarios


    Anónimo
    22/03/2012 20:09:49
    en donde puedo encontrar los ejercicios que dicen para el estudiante resueltos

    departamento contenidos
    23/03/2012 08:07:57
    Para obtener más información puedes dirigirte al autor través de la dirección de correo electrónico que aparece al final del recurso. Gracias por tu interés y un saludo.



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