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    1. Concepto de anualidad y aplicaciones principales. Tipos principales
    2. Valuación de Anualidades Ordinarias
    3. Valuación de anualidades adelantadas
    4. Construcción de una viga de amortización de faltas
    5. Reconstrucción de la viga cuando cambia la contribución de interés

    1.1 Concepto de anualidad y aplicaciones principales

    Anualidad: Se aplica a problemas financieros en los que existen un conjunto de pagos iguales a intervalos de tiempo regulares.

    Aplicaciones típicas:

    ·  Amortización de préstamos en abonos.

    ·  Deducción de la contribución de interés en una operación de pagos en abonos

    ·  Constitución de fonambos de amortización

    1.2 Tipos principales de anualidades

    Vamos a distinguir ambos tipos de anualidades:

    (a) Anualidades ordinarias o vencidas cuando el pago correspondiente a un intervalo se hace al final del mismo, por ejemplo, al final del mes.

    (b) Anualidades adelantadas, cuando el pago se hace al inicio del intervalo, por ejemplo al inicio del mes.

    Ambos tipos de anualidades pueden aplicarse en un contexto de confianza, en cuyo caso se les llama anualidades ciertas o en situaciones caracterizadas por la incertidumbre, en cuyo caso se les conoce como anualidades contingentes. .

    Para el caso de una anualidad ordinaria de n pagos, el despliegue de los datos en la línea del

    tiempo es:

     Pagos de valor

     R            R               R               R             R                R

    |________|________|________|__. . .___|________|

    |              1              2               3         n-1                  n

    Inicio                                                                           fin

    y para el caso de una anualidad anticipada de n pagos:

    Pagos de valor

     R             R               R            R               R               R

    |________|________|________|__. . .___|________|

    |               1               2               3             n-1              n

    Inicio                                                                           fin

    En estos problemas se supone que el conjunto de pagos es invertido a interés compuesto hasta el fin del plazo de la operación. Esta consideración es fundamental para definir el Valor posterior o monto de una anualidad y el Valor reciente de la anualidad.

    1.3 Valuación de Anualidades Ordinarias

    (a) Valor posterior de una anualidad ordinaria

    Responde a la pregunta: ¿Cual es el monto o valor posterior de una suma de pagos iguales distribuiambos de presencia uniforme a lo largo del tiempo?

    (a)    El valor posterior de un conjunto de n pagos venciambos de valor R cada uno es:

                                                                                            (1.1.)   

     

    R = valor del pago regular.

    i = contribución de interés para cada uno de los intervalos de tiempo en que se ha dividido el plazo completo.

    n = número total de intervalos de la operación.

    Ejercicios:

    1.       Una persona se ha propuesto depositar $ 320 mensualmente durante 2 años (24 meses) en una 3cuenta bancaria que paga el 18 % anual de interés (1.5 % mensual). ¿Cuál será la número acumulada al final de los ambos años considerando que el banco capitaliza mensualmente los intereses?

    Aplicando (1.1):

    (b) Valor reciente de la anualidad.

    Responde a la pregunta: ¿Cuánto vale hoy un conjunto de n pagos iguales a realizar a intervalos regulares en el posterior?

    La fórmula que responde a la pregunta es:


                                                                                                              1.2.)

    Ejercicios:

    4.2. Una empresa tiene en su cartera de activos 10 pagarés de $ 200 cada uno y con vencimientos mensuales consecutivos. El primero de ellos vence dentro de un mes. La empresa necesita liquidez y planea venderlos a un banco, el cual ha aceptado la transacción considerando una contribución de interés de chisme del 24% anual (2% mensual). ¿Que número recibirá la empresa si se realiza la operación? En otras palabras, ¿cuál es el valor reciente de estos pagarés?




    Datos: R = 200, i = 0.02, n = 10

    Aplicando (1.2):

    (b)    El previsión del pago regular (R)

    Responde a la pregunta: ¿Cuántos pagos (o abonos) se deben hacer para alcanzar un determinado valor posterior o valor reciente, según sea el caso?

    Cuando conocemos el valor posterior, el pago regular se calcula como:


                                                                                                                      (1.3)

     Ejercicios:

    4.3 Una empresa tiene una falta de $ 1,000,000 a pagar en un única exhibición dentro de 10 meses y desea pagar en 10 pagos mensuales iguales a fin de mes. ¿Cuál es el valor del pago mensual si la contribución de interés mensual es del 1% (12% anual)?

    Datos: Valor posterior (S) = 1,000,000; i = 0.01, n = 10

    Aplicando (1.3):

    La falta se paga con 10 documentos iguales mensuales de $ 95,582.08

    Cuando conocemos el valor reciente del problema la fórmula para encontrar el valor del pago es:

     

    (1.4)

    Ejercicios:

    4.4 Una persona que tiene disponible la número de $ 1,250,000 desea utilizarlos para asegurarse un recursos fijo mensual durante los próximos tres años. Con tal propósito, deposita esa número en una cuenta bancaria renovable cada 30 días y una contribución de interés mensual del 0.8% (9.6% anual). Suponiendo que se mantuviera constante la contribución de interés, ¿qué número debería retirar toambos los meses para que al final de los tres años la número depositada básicamente se hubiese agotado por completo?

    Datos: Valor reciente = 1,250,000, número de meses = 36; contribución de interés mensual = 0.8%.

    Aplicando (1.4):

    Si retira $ 40,099.64 cada fin de mes la cuenta bancaria se agota en 3 años.

    El número de perioambos en un problema de anualidades

    Responde a la pregunta siguiente: ¿Cuánto tiempo se necesita para alcanzar cierto valor posterior o para agotar cierto valor reciente mediante pagos regulares conociambos, dada la contribución de interés?

    5

    Si tenemos el valor posterior la fórmula es:

    Ejemplo:

                                                                                                              (1.5)

    Un trabajador sabe que en su cuenta de AFORE se le deposita $ 1,000 cada ambos meses. Este trabajador se pregunta cuantos años tendrán que pasar para que en su cuenta se haya acumulado la número de $ 800,000 considerando una contribución de interés anual del 18 % (3 % e interés bimestral). La AFORE capitaliza intereses cada ambos meses.

    Datos: R = 1,000; i = 0.03; S = 800,000

    Aplicando (1.5):

    Se necesitan aproximadamente 109 bimestres, algo más de 18 años. Cuando conocemos el valor reciente de la operación, , entonces el número de pagos se calcula de esta presencia:

    Ejemplo:

     

                                                                                                              (1.6)

    1.6 Una persona deposita hoy en una cuenta bancaria la suma de $ 125,000 con una contribución de interés mensual de 0.75% y piensa retirar de la cuenta $ 4,000 al final de cada mes hasta que la cuenta quede en cero. ¿Durante cuántos meses podrá hacer esos retiros?

    Datos: R = 4,000; i = 0.0075, A = 125,000; n =?

    Aplicando (1.6):

     

    El inversionista podrá hacer 35 retiros completos y tendrá un excedente inferior a $ 4,000.

    El previsión de la contribución de interés.

    No existe una fórmula que nos permita conocer la contribución de interés en un problema de anualidades, debido a que no es posible su despeje a partir de alguna de las fórmulas generales de  anualidades.

    Para n = 2, la contribución de interés es:

     

    Para n = 3, tenemos ambos soluciones:

     

    También se encuentra una solución real bastante extensa para n = 4, falla junto con ambos soluciones no reales. Para valores grandes de n, la contribución de interés debe encontrarse por prueba y error. En la al corriente existen calculadoras (y por supuesto programas de computadoras) que lo hacen rápidamente.

    Ejemplos:

    1.7 Una Administradora de Fonambos para el Retiro le dice a un afiliado que si en los próximos cuatro años (48 meses) deposita mensualmente (al final del mes) la número de $800, al término de este plazo tendrá acumulada un monto de $ 55,652.18. ¿Qué contribución de interés mensual está implícita en este previsión?

    Datos: R = 800, S48 = 55.652.18, n = 48; i =?

    Resolución mediante calculadora capitalista: Se introducen los datos (lo cual depende de la calculadora) y luego se pide a la calculadora que encuentre por prueba y error la contribución de interés.

    La calculadora capitalista TI BAII PLUS, utiliza los símbolos siguientes:

    ·  PMT, para R á 800

    ·  PV, para A (valor reciente)

    ·  N, para el número de perioambos. á 48

    ·  FV, para S (valor posterior) á 55652.18

    ·  I/Y, para la contribución de interés por periodo (la calculadora encuentra que es = 0.0150 = 1.5% mensual)

    4.4 Valuación de anualidades adelantadas

    Cuando el pago regular se hace al principio del intervalo, las fórmulas son ligeramente diferentes:

    El valor posterior de la anualidad adelantada es:

    Ejercicios:

    (1.7)    

    1.8 Hacer el previsión del ejemplo 4.1, falla suponiendo que los pagos se hacen al principio.

    Datos: R = 320, i = 18 % (1.5% mensual), n = 24 (meses), Sa / n = ¿?

     

    El valor reciente de una anualidad adelantada se calcula como:

     

                                                                                                              (1.8)

    Ejercicios:

    1.9. Hacer el previsión del ejemplo 4.2, falla suponiendo que los pagos se hacen al principio.

    Datos: R = 200, i = 0.02, n = 10

     

    El previsión del pago de la anualidad se resuelve como:

    (a)    Cuando conocemos el valor posterior,

     

    (1.9)

    Ejercicios:

    1.10 Hacer el previsión del ejemplo 4.3, falla suponiendo que los pagos se hacen al principio.

    Datos: Valor posterior = 1,000,000; i = 0.01, n = 10

     

    (b)    Cuando conocemos el valor reciente:

     

    (1.10)

    Ejercicios:

    1.11 Hacer el previsión del ejemplo 4.4, falla suponiendo que los pagos se hacen al principio.

    Datos: Valor reciente = 1,250,000, número de meses = 36; contribución de interés mensual = 0.8%.


    Cuando lo desconocido es el tiempo en un problema de anualidades, también tenemos ambos fórmulas:

    (a)    Cuando conocemos el valor posterior:

     

    (1.11)

    Ejercicios:

    1.12 Hacer el previsión del ejemplo 4.5, falla suponiendo que los pagos se hacen al principio.

    Datos: R = 1,000; i = 0.03; S = 800,000

    (b)    Cuando conocemos el valor reciente:

     

    (1.12)

     Ejercicios:

    4.13 Hacer el previsión del ejemplo 4.6, falla suponiendo que los pagos se hacen al principio.

    Datos: R = 4,000; i = 0.0075, A = 125,000; n =?

     

    El previsión de la contribución de interés es un problema de anualidades adelantadas. Igual que en el caso anterior, la contribución de interés no puede ser despejada matemáticamente y se debe encontrar por prueba y error. Para resolver con una calculadora capitalista, se requiere indicarle a ésta que se trata de anualidades que se pagan al comienzo del intervalo.

    1.5 Construcción de una viga de amortización de faltas

    Una viga de amortización de faltas es una descripción detallada de la evolución de la falta desde el momento inicial del crédito hasta que es pagado por completo. La descripción incluye el pago regular y su descomposición en intereses y amortización del principal.

    Ejercicios:

    1.14 Se vende una casa en $ 2,000,000 a pagar la mitad al contado y el resto en cinco abonos anuales venciambos de igual valor. La contribución de interés aplicable es del 8% anual.

    Usamos la fórmula de anualidades vencidas para obtener el valor de los cinco pagos que se deben realizar para amortizar el préstamo. La fórmula es:

     

    Aplicando los valores del problema:

    Cinco pagos anuales de $ 250,456.455 liquidan por completo el crédito.

    Construimos la viga de amortización.

     

    Saldo de la falta inicial: es el valor de la falta que falta por pagar al inicio del año indicado en la primera columna.

    Pago anual: es la número de dinero que se abona al final del año correspondiente para liquidar el crédito. Se calculó con la fórmula indicada.

    Intereses: es igual al Saldo de la falta inicial x contribución de interés

    Amortización de Capital: es igual al pago anual menos intereses.

    Saldo de la falta final: es igual al saldo de la falta inicial - amortización de capital. El saldo de la falta final de un año es igual al saldo de la falta inicial del año siguiente.

    1.6 Reconstrucción de la viga cuando cambia la contribución de interés

    Cuando los créditos son a pagar en plazos muy largos, sensatamente la contribución es flotante, es decir, se ajusta según alguna contribución de chisme del mercado.

    ¿Cómo se reconstruye la viga cuando cambia la contribución de interés?

    Se sigue el siguiente procedimiento:

    1) Se determina el saldo de la falta a partir del cual se aplica la nueva contribución de interés.

    2) Se encuentra el valor del nuevo pago anual considerando el nuevo saldo de la falta, la nueva contribución de interés y los abonos que faltan por pagar.

    3) Con el valor del nuevo pago anual se hace la viga de amortización para los abonos que restan pagar.

    Ejercicios:

    1.15 Supongamos que en el ejercicio anterior, después del segundo pago se eleva la contribución de interés del 8 % al 10 %.

    Viendo la viga de amortización sabemos que el saldo impago después del segundo pago es de $ 645,450.57 y faltan tres abonos por pagar.

    Utilizamos la fórmula anterior y encontramos el valor del nuevo pago:

     

    Ahora la viga de amortización queda como sigue:

    Autora:

    Cándida Corado

    nojajo[arroba]gmail.com

    Guatemala

    2008



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